Lũy thừa và căn: quy tắc tính nhanh
Mở đầu: vì sao phải nhớ quy tắc lũy thừa
Đây là bài đầu tiên của Module 1, và cũng là bài đặt nền cho mọi công thức bạn sẽ gặp sau này. Trong công thức ML, bạn sẽ liên tục thấy bình phương, căn bậc hai, số mũ âm, và cả những con số như $0{,}001 = 10^{-3}$. Nếu đọc được các ký hiệu đó mà không bị khựng lại, phần còn lại của khóa học sẽ nhẹ đi rất nhiều.
Sau bài này, bạn sẽ:
- Viết được $a^n$ thành tích các thừa số và giải thích cơ số, số mũ.
- Dùng thành thạo 5 quy tắc: nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa, số mũ 0, số mũ âm.
- Đổi căn bậc hai sang dạng lũy thừa $a^{1/2}$ và rút gọn căn bằng quy tắc nhân, chia.
- Tính nhẩm được các biểu thức như $\sqrt{72}$ hay $16^{3/4}$ trong vài giây.
- Nhận ra 3 lỗi tính toán hay gặp nhất để không mắc lại.
Lũy thừa là phép nhân viết tắt
$2^5$ chỉ là cách viết gọn của $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Trong $2^5$, số 2 gọi là cơ số (base), số 5 gọi là số mũ (exponent). Số mũ nói cho bạn biết có bao nhiêu thừa số 2 được nhân với nhau.
Ví dụ đời thường: một mô hình có $2^{10}$ cấu hình tham số. Bạn không cần nhân 10 lần, chỉ cần nhớ $2^{10} = 1024$, xấp xỉ "một nghìn". Đây là mẹo ước lượng rất hay dùng: $2^{10} \approx 10^3$.
Một ví dụ khác gần với ML hơn: nếu tốc độ học giảm một nửa sau mỗi epoch, sau 5 epoch nó còn $0{,}5^5 = 1/32$ lần ban đầu, tức khoảng 3%. Chỉ với một lũy thừa, bạn đã trả lời được câu hỏi "còn bao nhiêu phần trăm".
Năm quy tắc tính nhanh
Điểm mấu chốt: các quy tắc này chỉ áp dụng khi cơ số giống nhau. Đây là điều kiện bạn phải kiểm tra trước tiên.
| Quy tắc | Công thức | Ví dụ |
|---|---|---|
| Nhân, cùng cơ số | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ |
| Chia, cùng cơ số | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $\frac{5^6}{5^4} = 5^2 = 25$ |
| Lũy thừa của lũy thừa | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(10^2)^3 = 10^6$ |
| Lũy thừa của tích | $(a \cdot b)^n = a^n b^n$ | $(2 \cdot 5)^3 = 1000$ |
| Số mũ 0 | $a^0 = 1$ (với $a \neq 0$) | $7^0 = 1$ |
| Số mũ âm | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$ |
Vì sao $a^0 = 1$? Hãy nhìn dãy $2^3, 2^2, 2^1$: mỗi bước chia cho 2. Tiếp tục thì $2^1 = 2$, chia 2 được $2^0 = 1$, chia 2 nữa được $2^{-1} = 1/2$. Quy tắc số mũ 0 và số mũ âm đến từ chính tính liên tục đó, không phải quy ước tùy tiện.
Cẩn thận một chỗ dễ sai: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, nhưng $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$. Có ngoặc ngoài thì nhân số mũ, không có ngoặc thì tính từ trên xuống.
Căn bậc hai chính là lũy thừa $1/2$
Đây là cầu nối quan trọng nhất của bài: $\sqrt{a} = a^{1/2}$. Nhờ vậy mọi quy tắc ở trên dùng được cho cả căn.
$$ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $$
Ví dụ: $\sqrt{16 \cdot 25} = 4 \cdot 5 = 20$. Và $\sqrt{49/16} = 7/4$.
Nghĩ theo hướng ngược lại (rút gọn căn): tìm một số chính phương chia hết số dưới căn.
$$ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} $$
Điều không làm được: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Kiểm tra ngay: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, còn $3 + 4 = 7$. Căn "phá" được phép nhân và phép chia, không phá được phép cộng.
Một chi tiết nữa: $\sqrt{a^2} = |a|$, tức luôn ra số không âm. $\sqrt{(-3)^2} = 3$, không phải $-3$.
flowchart TD
A["🔍<br/>Biểu thức lũy thừa, căn"] --> B["🔢<br/>Đưa mọi số về cùng cơ số"]
B --> C["➕<br/>Gộp số mũ: nhân thì cộng, chia thì trừ"]
C --> D["✅<br/>Tính giá trị cuối"]
Ví dụ rút gọn có lời giải
Ví dụ 1. Rút gọn $\dfrac{2^5 \cdot 4^3}{8^2}$.
Bước 1, đưa về cùng cơ số 2: $4^3 = (2^2)^3 = 2^6$, và $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$.
Bước 2, gộp số mũ: $\dfrac{2^5 \cdot 2^6}{2^6} = 2^{5+6-6} = 2^5 = 32$.
Ví dụ 2. Tính $\sqrt{50} - \sqrt{18}$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ và $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. Vậy kết quả là $2\sqrt{2} \approx 2{,}83$. Chỉ khi hai căn đã cùng "đuôi" $\sqrt{2}$ thì mới trừ được hệ số.
Ví dụ 3. Tính $27^{1/3}$ và $16^{3/4}$.
$27^{1/3} = 3$ vì $3^3 = 27$. Với $16^{3/4}$, làm từng bước: $16^{1/4} = 2$, rồi $2^3 = 8$. Mẹo: làm căn trước, lũy thừa sau, vì căn cho ra số nhỏ dễ nhân.
Ví dụ 4. Viết $0{,}001$ dạng lũy thừa của 10.
$0{,}001 = \dfrac{1}{1000} = \dfrac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Trong tài liệu ML, learning rate $10^{-3}$ và $10^{-4}$ xuất hiện liên tục, nhận ra dạng này giúp bạn đọc bảng kết quả nhanh hơn.
Mẹo nhẩm nhanh và những lỗi hay gặp
- Nhìn cơ số trước, tính sau. Thấy $4$, $8$, $16$, $32$ thì nghĩ ngay tới $2^2, 2^3, 2^4, 2^5$. Thấy $9$, $27$, $81$ thì nghĩ tới $3^2, 3^3, 3^4$. Đổi về cùng cơ số là bước tốn thời gian nhất, nhưng làm đúng thì phần sau gần như tự giải.
- Ước lượng bằng $2^{10} \approx 10^3$. $2^{20} \approx 10^6$ (một triệu), $2^{30} \approx 10^9$ (một tỉ). Đủ để kiểm tra xem kết quả của bạn có hợp lý không.
- Lỗi 1: cộng số mũ khi nhân nhưng quên rằng cơ số phải giống nhau. $2^3 \cdot 3^4$ không gộp được.
- Lỗi 2: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Không bao giờ đúng, hãy thử với $a = b = 9$.
- Lỗi 3: $(a^m)^n$ và $a^{(m^n)}$ là hai thứ khác nhau. Thiếu ngoặc là đổi hẳn đáp án.
- Quy tắc ngón tay: số mũ âm không làm số "âm", nó chỉ lật ngược thành phân số. $2^{-3}$ vẫn dương, bằng $0{,}125$.
Những gì cần nhớ trước khi sang logarit
Bốn điều đáng mang theo: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ khi cùng cơ số; $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$; $a^{-n} = 1/a^n$ và $a^0 = 1$; và $\sqrt{a} = a^{1/2}$, nhờ đó căn cũng tuân theo quy tắc lũy thừa.
Bài tiếp theo, Logarit: trực giác và quy tắc tính, sẽ đặt đúng câu hỏi ngược lại: biết kết quả $a^n$, tìm $n$. Mọi quy tắc hôm nay sẽ được "dịch" sang ngôn ngữ logarit, nên hãy chắc rằng bạn đã nhân, chia số mũ thành thạo trước khi đi tiếp.## Thẻ ghi nhớ và bài tập điền khuyết
Ôn lại bằng bộ thẻ dưới đây. Đọc câu hỏi, tự trả lời trong đầu, rồi mới lật sang đáp án.
Front: a^m · a^n bằng gì (cùng cơ số)? Back: a^(m+n): giữ nguyên cơ số, cộng hai số mũ.
Front: a^m chia a^n bằng gì? Back: a^(m−n): giữ nguyên cơ số, trừ hai số mũ.
Front: (a^m)^n bằng gì? Back: a^(m·n): lũy thừa của lũy thừa thì nhân hai số mũ.
Front: a^0 bằng bao nhiêu (a khác 0)? Back: Bằng 1, với mọi cơ số khác 0.
Front: a^(−n) bằng gì? Back: 1/a^n, tức là nghịch đảo của a^n; kết quả vẫn có thể dương.
Front: Căn bậc hai của a viết dạng lũy thừa là gì? Back: a^(1/2).
Front: Căn bậc n của a^m viết dạng lũy thừa là gì? Back: a^(m/n).
Front: √(a · b) có tách được không? Back: Có: √a · √b, với a, b không âm. Phép nhân và chia tách được, phép cộng thì không.
Front: √(a + b) có bằng √a + √b không? Back: Không. Thử a = b = 9: √18 ≈ 4,24 còn 3 + 3 = 6.
Front: (a · b)^n bằng gì? Back: a^n · b^n: lũy thừa phân phối được vào phép nhân bên trong ngoặc.
Front: 2^10 xấp xỉ bao nhiêu? Back: Khoảng 10^3 (chính xác là 1024), mốc ước lượng rất tiện.
Front: 2^(−3) bằng bao nhiêu? Back: 1/8 = 0,125, một số dương, không phải số âm.
Front: 3^2 · 3^4 rút gọn thế nào? Back: 3^6 = 729.
Điền vào chỗ trống để tự kiểm tra mức độ chắc quy tắc:
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta _____ hai số mũ. Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta _____ hai số mũ. Với lũy thừa của lũy thừa, ta _____ hai số mũ. Căn bậc hai của $a$ chính là $a$ mũ _____. Và $a^{-n}$ bằng _____, nghĩa là nghịch đảo của $a^n$.