Ký hiệu tổng Σ và chỉ số dưới

By Better Wise

Vì sao công thức ML luôn có chữ Σ

Bài trước bạn đã làm quen với logarit, một ký hiệu viết tắt cho phép tính ngược của lũy thừa. Bài này cũng là chuyện viết tắt: chữ Σ (sigma hoa) chỉ là cách viết gọn của một phép cộng dài, để công thức không phải kéo dài cả trang giấy.

Mục tiêu của bài:

• Đọc đúng ba phần của một biểu thức Σ: ký hiệu, cận dưới, cận trên.
• Hiểu chỉ số dưới (subscript) là gì và vì sao nó được gọi là biến câm.
• Khai triển một biểu thức Σ thành dãy phép cộng cụ thể trên giấy.
• Tính nhanh vài tổng đơn giản, kể cả tổng của dữ liệu thật.

Sigma: phép cộng viết gọn

Giả sử bạn có bốn điểm kiểm tra: 7, 8, 6, 9. Muốn cộng hết, bạn viết 7 + 8 + 6 + 9. Chỉ bốn số thì không sao. Nhưng nếu có 10.000 dòng dữ liệu thì không ai viết tay từng số. Người ta đặt tên cho từng số: $x_1 = 7$, $x_2 = 8$, $x_3 = 6$, $x_4 = 9$, rồi viết:

$$ \sum_{i=1}^{4} x_i = 7 + 8 + 6 + 9 = 30 $$

Đọc thành: "tổng của $x_i$ với $i$ chạy từ 1 đến 4". Ba phần cần nhận ra ngay:

Cận dưới luôn nằm ngay dưới chân chữ Σ, đó chính là chỗ chứa chỉ số dưới. Chỉ số dưới cho biết phép cộng bắt đầu từ đâu và biến nào đang chạy.

![Không có hình]

Chỉ số dưới, biến chạy và biến câm

Chữ $i$ trong $\sum_{i=1}^{4} x_i$ là index, tiếng Việt hay gọi là biến chạy. Nó lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4. Với mỗi giá trị, ta thay vào số hạng tổng quát để lấy ra một số hạng cụ thể.

Một điểm dễ gây hoang mang: đổi tên biến chạy không làm đổi kết quả.

$$ \sum_{i=1}^{4} x_i = \sum_{j=1}^{4} x_j = \sum_{k=1}^{4} x_k $$

Vì thế $i$ còn được gọi là biến câm (dummy variable): nó chỉ làm nhiệm vụ đếm bên trong tổng, ra khỏi tổng là hết giá trị. Viết $i$ ở ngoài biểu thức sau khi tổng đã tính xong là lỗi.

Cần phân biệt hai thứ trông giống nhau:

• $x_i$ là "x thứ i", tức phần tử thứ i của dãy dữ liệu.
• $x^2$ là "x bình phương", tức phép lũy thừa mà bạn đã học ở bài đầu module.

Chỉ số dưới nằm thấp, lũy thừa nằm cao. Đọc sai chỗ này là lệch cả công thức.

Khai triển Σ thành dãy phép cộng

Đây là kỹ năng chính của bài: nhìn một biểu thức Σ và viết ra đầy đủ các số hạng.

flowchart TD
    A["🚀<br/>Đặt i = cận dưới"] --> B{"i còn nhỏ hơn<br/>hoặc bằng cận trên?"}
    B -- Đúng --> C["➕<br/>Thay i vào số hạng, cộng vào tổng"]
    C --> D["➡️<br/>Tăng i thêm 1"]
    D --> B
    B -- Sai --> E["🏁<br/>Dừng, đọc kết quả"]

Ví dụ 1. Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 4:

$$ \sum_{i=1}^{4} i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $$

Ví dụ 2. Số hạng có lũy thừa:

$$ \sum_{i=1}^{3} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 $$

Ví dụ 3. Cận dưới không phải 1:

$$ \sum_{i=2}^{5} i^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54 $$

Lưu ý: bắt đầu từ $i = 2$ nên số hạng đầu là $2^2$, không phải $1^2$. Số số hạng ở đây là $5 - 2 + 1 = 4$, không phải 3.

Ví dụ 4. Số hạng có hệ số:

$$ \sum_{i=1}^{3} (2i + 1) = 3 + 5 + 7 = 15 $$

Với $i = 1$: $2 \cdot 1 + 1 = 3$. Với $i = 2$: $5$. Với $i = 3$: $7$.

Ví dụ 5. Số hạng là hằng số:

$$ \sum_{i=1}^{4} 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 $$

Cộng 5 bốn lần, tức $4 \cdot 5$. Tổng quát: $\sum_{i=1}^{n} c = n \cdot c$ với $c$ là hằng số. Đây là lý do nhiều công thức có dạng $n$ nhân một giá trị trung bình.

Ví dụ 6. Trên dữ liệu thật, tổng điểm của bốn bạn trong tổ là 7, 8, 6, 9:

Hai quy tắc tính nhanh rất hay dùng, chỉ cần hiểu là cộng thì đổi chỗ và gom nhóm được:

$$ \sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i \qquad \sum_{i=1}^{n} c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=1}^{n} a_i $$

Quy tắc thứ hai nghĩa là hằng số nhân chung thì được kéo ra ngoài chữ Σ. Bạn sẽ gặp lại đúng thao tác này khi rút gọn công thức sai số ở module sau.

Kiểm tra nhanh bằng cloze:

• Trong $\sum_{i=1}^{n} a_i$, $i = 1$ là _____ còn $n$ là _____.
• Số số hạng của $\sum_{i=2}^{5} a_i$ là _____ (tính bằng 5 − 2 + 1).
• $\sum_{i=1}^{4} i^2$ bằng _____.
• $\sum_{i=1}^{3} 7$ bằng _____.
• Biến chạy $i$ còn được gọi là _____ vì đổi tên thành $j$ hay $k$ đều không làm đổi giá trị tổng.

Ba vấp thường gặp khi viết Σ và cách tránh

• Tưởng cận dưới luôn bằng 1. Không phải. Luôn nhìn chân chữ Σ trước khi cộng. Mẹo đếm: số số hạng = cận trên − cận dưới + 1.
• Lẫn chỉ số dưới với lũy thừa. $x_i$ là phần tử thứ i, $x^2$ là bình phương. Khi chép công thức, đọc to lên: "x chỉ số i" hay "x bình phương".
• Dùng lại biến chạy ở ngoài tổng. Sau khi tính xong, kết quả là một con số, không còn chứa $i$. Nếu kết quả của bạn còn $i$ thì phép khai triển chưa xong.
• Mẹo tự kiểm tra: với tổng nhỏ, khai triển ra giấy rồi đếm số hạng. Nếu số hạng đếm được khác $n - m + 1$, bạn đã bỏ sót hoặc cộng thừa một giá trị.

Chốt lại: đọc một biểu thức Σ trong 10 giây

Ba câu để mang theo: chữ Σ là lệnh cộng, cận dưới cho biết bắt đầu, cận trên cho biết dừng. Chỉ số dưới là biến đếm dùng một lần rồi thôi, và đổi tên nó không đổi kết quả. Khi gặp biểu thức lạ, cứ khai triển ba số hạng đầu và một số hạng cuối là bạn đã nắm được quy luật.

Bài tiếp theo là checkpoint của module: bạn sẽ ráp lũy thừa, căn, logarit và Σ lại thành một lượt bài tập ngắn. Sau đó, ở module 2, chính ký hiệu Σ này sẽ xuất hiện trong công thức mean squared error, nên hãy luyện khai triển cho quen tay.

Front: Ký hiệu Σ (sigma hoa) là cách viết gọn của phép gì? Back: Phép cộng nhiều số hạng theo một quy luật.

Front: Trong biểu thức tổng, giá trị nằm ngay dưới chân chữ Σ gọi là gì? Back: Cận dưới, tức điểm bắt đầu của chỉ số.

Front: Giá trị nằm phía trên chữ Σ gọi là gì? Back: Cận trên, tức điểm dừng của chỉ số.

Front: Chỉ số dưới i trong một tổng được gọi là gì? Back: Biến chạy (index), hay biến câm vì đổi tên không đổi kết quả.

Front: Tổng 1 + 2 + 3 + 4 viết bằng Σ như thế nào? Back: Tổng của i với i chạy từ 1 đến 4, kết quả bằng 10.

Front: Tổng các bình phương từ 1 đến 3 bằng bao nhiêu? Back: 1 + 4 + 9 = 14.

Front: Tổng từ i = 2 đến 5 của i bình phương bằng bao nhiêu? Back: 4 + 9 + 16 + 25 = 54.

Front: Tổng của một hằng số c lặp n lần bằng bao nhiêu? Back: n nhân c.

Front: Tổng của số 5 với chỉ số chạy từ 1 đến 4 bằng bao nhiêu? Back: 4 nhân 5 = 20.

Front: Tổng có cận dưới m và cận trên n thì có bao nhiêu số hạng? Back: n − m + 1 số hạng.

Front: x chỉ số i đọc là gì và khác gì x bình phương? Back: Là phần tử thứ i của dãy dữ liệu, không phải phép nhân hay lũy thừa.

Front: Với dữ liệu 7, 8, 6, 9 thì tổng của x chỉ số i từ 1 đến 4 bằng bao nhiêu? Back: 7 + 8 + 6 + 9 = 30.

Front: Hằng số nhân chung trong số hạng thì xử lý thế nào? Back: Kéo hằng số ra ngoài chữ Σ.

Front: Sau khi khai triển và tính xong một tổng, kết quả còn chứa biến chạy không? Back: Không, kết quả là một con số; còn biến chạy nghĩa là chưa tính xong.