Logarit: trực giác và quy tắc tính

flowchart TD
    A["❓ log₂ 32 = ?"] --> B["32 ÷ 2 = 16"]
    B --> C["16 ÷ 2 = 8"]
    C --> D["8 ÷ 2 = 4"]
    D --> E["4 ÷ 2 = 2"]
    E --> F["2 ÷ 2 = 1"]
    F --> G["✅ 5 lần chia, vậy log₂ 32 = 5"]

Quy tắc log của tích: nhân bên trong thành cộng bên ngoài

$$ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y $$

Ví dụ: $\log_2 32 = \log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$. Đúng với kết quả đếm số lần chia đôi ở trên.

Ví dụ có số lẻ hơn: $\log_{10} 200 = \log_{10}(2 \cdot 100) = \log_{10} 2 + \log_{10} 100 \approx 0.301 + 2 = 2.301$. Ta không cần biết chính xác $\log_{10} 2$, chỉ cần tách thành phần "tròn" cộng phần "lẻ".

Quy tắc log của thương: chia bên trong thành trừ bên ngoài

$$ \log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y $$

Ví dụ: $\log_3 \frac{81}{9} = \log_3 81 - \log_3 9 = 4 - 2 = 2$. Kiểm tra lại: $\frac{81}{9} = 9 = 3^2$, khớp.

Quy tắc này giải thích luôn vì sao tỉ lệ phần trăm rất "hợp" với logarit: nếu doanh thu tăng gấp $10$ lần thì $\log_{10}$ tăng thêm đúng $1$ đơn vị, dù doanh thu tuyệt đối là $100$ hay $1$ triệu.

Quy tắc log của lũy thừa: số mũ nhảy ra trước

$$ \log_b(x^k) = k \cdot \log_b x $$

Ví dụ: $\log_2(8^4) = 4 \cdot \log_2 8 = 4 \cdot 3 = 12$. Thử lại: $8^4 = 4096 = 2^{12}$, khớp.

Đây là quy tắc "đắt giá" nhất trong ML. Khi tính xác suất của $n$ mẫu độc lập, ta phải nhân $n$ xác suất với nhau, và tích của hàng nghìn số nhỏ hơn $1$ sẽ tụt về $0$ rất nhanh. Lấy logarit biến tích đó thành tổng, vừa tránh mất độ chính xác, vừa dễ đạo hàm.

Ghép ba quy tắc trong một bài toán

Rút gọn $\log_2 \dfrac{16x^3}{y}$ với $x, y > 0$.

1. Thương trước: $\log_2(16x^3) - \log_2 y$.
2. Tích tiếp: $\log_2 16 + \log_2(x^3) - \log_2 y$.
3. Lũy thừa cuối: $\log_2 16 = 4$ và $\log_2(x^3) = 3\log_2 x$.

Kết quả: $4 + 3\log_2 x - \log_2 y$. Một biểu thức gọn, không còn phép chia nào.

Thứ tự làm luôn là: thương, rồi tích, rồi lũy thừa, từ ngoài vào trong.

Hai giá trị nền và công thức đổi cơ số

Với mọi cơ số hợp lệ:

• $\log_b 1 = 0$ vì $b^0 = 1$.
• $\log_b b = 1$ vì $b^1 = b$.
• $\log_b b^k = k$ và $b^{\log_b x} = x$ (hai phép triệt tiêu nhau).

Khi máy tính chỉ có nút $\log$ hoặc $\ln$, dùng đổi cơ số:

$$ \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} $$

Ví dụ: $\log_2 10 = \dfrac{\log_{10} 10}{\log_{10} 2} \approx \dfrac{1}{0.301} \approx 3.32$. Nghĩa là $2^{3.32} \approx 10$, hợp lý vì $2^3 = 8$ và $2^4 = 16$.

Tự kiểm tra nhanh

1. Logarit của một tích bằng phép _____ hai logarit.
2. Logarit của một thương bằng phép _____ hai logarit.
3. Logarit của một lũy thừa bằng số mũ _____ với logarit của cơ số bên trong.
4. Với mọi cơ số hợp lệ, log_b 1 = _____.
5. Với mọi cơ số hợp lệ, log_b b = _____.
6. log_b a = c có nghĩa là _____.

Mẹo tính nhanh và lỗi hay gặp

• Đừng cộng log của tổng. $\log(x + y)$ không bằng $\log x + \log y$. Quy tắc chỉ đúng cho phép nhân bên trong.
• Đừng quên điều kiện. $\log_2(-8)$ không tồn tại trong số thực, dù $-8$ là một số bình thường.
• Đọc đúng chiều câu hỏi. $\log_2 8 = 3$ chứ không phải $8$. Nếu phân vân, viết lại thành $2^? = 8$ rồi tự trả lời.
• Đếm số lần chia đôi là cách kiểm tra $\log_2$ nhanh nhất khi không có máy tính: $64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ là $6$ lần, vậy $\log_2 64 = 6$.
• Quy tắc chọn cơ số: thấy dữ liệu gấp đôi, chia đôi, bit thì dùng cơ số $2$; thấy phần trăm, bậc độ lớn thì dùng cơ số $10$; thấy công thức ML có $e$ thì dùng $\ln$.

Ghi nhớ trước khi sang bài tiếp theo

Ba điều cần mang theo: logarit là phép ngược của lũy thừa, ba quy tắc tích, thương, lũy thừa biến phép nhân chia thành cộng trừ, và $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$ là hai mốc để kiểm tra mọi kết quả.

Bài sau ta chuyển sang ký hiệu tổng $\Sigma$ và chỉ số dưới, công cụ để viết gọn hàng nghìn phép cộng trong một dòng, đúng kiểu bạn sẽ thấy trong công thức ML.

Front: log_b a = c có nghĩa là gì? Back: b lũy thừa c bằng a, tức b^c = a.

Front: log_2 8 bằng bao nhiêu? Back: 3, vì 2^3 = 8.

Front: log_10 1000 bằng bao nhiêu? Back: 3, vì 10^3 = 1000.

Front: log_2 32 bằng bao nhiêu? Back: 5, vì chia đôi 32 năm lần thì còn 1.

Front: Quy tắc log của một tích? Back: log_b(xy) = log_b x + log_b y, nhân bên trong thành cộng bên ngoài.

Front: Quy tắc log của một thương? Back: log_b(x/y) = log_b x - log_b y, chia bên trong thành trừ bên ngoài.

Front: Quy tắc log của một lũy thừa? Back: log_b(x^k) = k · log_b x, số mũ nhảy ra trước.

Front: log_b 1 bằng bao nhiêu? Back: 0, vì b^0 = 1.

Front: log_b b bằng bao nhiêu? Back: 1, vì b^1 = b.

Front: ln x là logarit cơ số mấy? Back: Cơ số e, với e xấp xỉ 2.718.

Front: log_2(8^4) bằng bao nhiêu? Back: 12, vì 4 · log_2 8 = 4 · 3.

Front: Công thức đổi cơ số cho log_b x? Back: log_b x = log_10 x / log_10 b.

Front: log(x + y) có bằng log x + log y không? Back: Không. Quy tắc cộng chỉ đúng cho tích bên trong log.

Front: Vì sao ML hay dùng logarit cho xác suất? Back: Vì log biến tích nhiều xác suất nhỏ thành tổng, tránh tràn về 0 và dễ đạo hàm.

Front: Rút gọn log_2(16x^3/y)? Back: 4 + 3·log_2 x - log_2 y, làm theo thứ tự thương, tích, lũy thừa.