📊 Hàm số, biến số và đồ thị

By Better Wise

Ở Module 1, bạn đã học cách viết gọn một phép cộng dài bằng ký hiệu $\Sigma$, và cách dùng lũy thừa, căn, logarit để tính nhanh. Những công cụ đó giúp ta xử lý một con số. Bài này mở Module 2 bằng một bước chuyển nhỏ nhưng quan trọng: mô tả quan hệ giữa hai đại lượng, tức là khi đại lượng này thay đổi thì đại lượng kia thay đổi thế nào. Đây chính là ngôn ngữ mà mọi công thức ML dùng để nói về dữ liệu.

Sau bài này, bạn sẽ:

  • Gọi tên được biến vào (input) và biến ra (output) của một hàm số đơn giản.
  • Viết và đọc đúng ký hiệu $f(x)$, $f(2)$.
  • Lập được một bảng giá trị nhỏ để "chạy thử" hàm.
  • Đọc hình dạng đồ thị để nói hàm đang tăng, giảm, dốc hay phẳng.
  • Nhận ra hàm có nhiều biến vào, như $f(x, y)$.

Hàm số là một cái máy: bỏ vào một số, nhận ra một số

Hãy nghĩ đến máy đổi tiền ở sân bay. Bạn bỏ vào một tờ USD, máy trả ra số tiền Việt tương ứng. Máy không quan tâm bạn là ai, chỉ quan tâm bạn bỏ vào bao nhiêu. Hàm số hoạt động y hệt.

flowchart TD
    A["🔢<br/>Số bỏ vào: x"] --> M["⚙️<br/>Quy tắc f"]
    M --> B["🎯<br/>Số nhận ra: f(x)"]

Một quy tắc chỉ được gọi là hàm số khi nó thỏa điều kiện: mỗi giá trị vào chỉ cho đúng một giá trị ra. Bỏ 10 USD thì luôn nhận cùng một số tiền Việt, không lúc 250 nghìn lúc 300 nghìn. Hai người khác nhau bỏ vào cùng một số thì cũng nhận cùng một kết quả, đó là chuyện bình thường.

x, f(x) và cách đọc ký hiệu

Lấy ví dụ quen thuộc: tiền taxi.

$$ T(s) = 12000 + 15000 \cdot s $$

trong đó $s$ là số km đã đi, $T(s)$ là số tiền phải trả.

  • $s$ là biến vào (biến độc lập): bạn tự chọn đi bao xa.
  • $T(s)$ là biến ra (biến phụ thuộc): nó phụ thuộc vào $s$.
  • $T$ là tên của hàm, đặt tùy ý, miễn là dễ nhớ (T cho tiền, f cho function).

Cách tính rất cơ học: thay số vào chỗ của $s$.

  • $T(0) = 12000 + 15000 \cdot 0 = 12000$. Đây là giá mở cửa, đi 0 km vẫn phải trả.
  • $T(5) = 12000 + 15000 \cdot 5 = 87000$. Đi 5 km trả 87 nghìn.

Mỗi km thêm vào làm tiền tăng thêm đúng 15000. Con số 15000 đó sẽ là manh mối để bạn đọc độ dốc của đồ thị ở phần sau.

Note: $f(x)$ đọc là "f của x", nghĩa là giá trị của hàm $f$ tại $x$. Nó không phải phép nhân $f \cdot x$. Chữ $x$ trong ngoặc chỉ là chỗ trống để bạn điền số vào.

Bảng giá trị: chạy thử cái máy vài lần

Muốn hiểu một hàm, cách nhanh nhất là cho nó vài giá trị vào và ghi lại giá trị ra. Xét hàm đơn giản $f(x) = 2x + 1$:

$x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f(x)$ $1$ $3$ $5$ $7$ $9$

Nhìn bảng là thấy quy luật: mỗi lần $x$ tăng 1 thì $f(x)$ tăng 2.

Ví dụ có sẵn trong bài: hàm bình phương. Xét $g(x) = x^2$.

  • $g(3) = 9$
  • $g(-3) = 9$

Hai giá trị vào khác nhau cho cùng một giá trị ra. Điều này hoàn toàn hợp lệ, vì điều kiện chỉ cấm chiều ngược lại: một giá trị vào không được cho hai giá trị ra.

Ví dụ thực tế: diện tích hình vuông. Gọi $A(c) = c^2$ là diện tích hình vuông cạnh $c$ mét.

  • $A(2) = 4$ m²
  • $A(4) = 16$ m²

Cạnh tăng gấp đôi thì diện tích tăng gấp bốn. Đây là kiểu thay đổi "nhanh dần", khác hẳn kiểu taxi ở trên.

Đồ thị: biến bảng giá trị thành hình

Mỗi cặp $(x, f(x))$ trong bảng là một điểm trên mặt phẳng. Quy ước cố định:

  • Trục ngang (trục hoành) là biến vào $x$.
  • Trục dọc (trục tung) là biến ra $f(x)$.

Đánh dấu các điểm của $f(x) = 2x + 1$ rồi nối lại, ta được một đường thẳng đi lên.

xychart-beta
    title "Do thi ham so bac nhat"
    x-axis [0, 1, 2, 3, 4]
    y-axis "f(x)" 0 --> 10
    line [1, 3, 5, 7, 9]

Với $g(x) = x^2$, các điểm $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,4)$, $(3,9)$ cong dần lên, tạo thành hình parabol. Bạn không cần vẽ đẹp, chỉ cần nhớ: đồ thị là bản dịch bằng hình ảnh của bảng giá trị.

Đọc hình dạng đồ thị để kể một câu chuyện

Khi nhìn một đồ thị, luôn đọc từ trái sang phải (tức là $x$ tăng dần) và tự hỏi: đường này đang làm gì?

  • Đi lên: hàm tăng. Ví dụ quãng đường tăng theo thời gian khi đi đều.
  • Đi xuống: hàm giảm. Ví dụ lượng pin giảm theo số giờ dùng máy.
  • Nằm ngang: hàm không đổi. Ví dụ tiền thuê bao cố định không phụ thuộc số phút gọi.
  • Dốc hơn: thay đổi nhanh hơn. So sánh $f(x) = 2x + 1$ với $h(x) = 0.5x + 1$: cùng tăng 1 đơn vị $x$, hàm $f$ nhảy 2 còn hàm $h$ chỉ nhảy 0.5, nên đồ thị $f$ dốc hơn.
  • Cong lên: thay đổi nhanh dần, như $A(c) = c^2$ ở trên.

Một mẹo kiểm tra: đọc to thành câu, "khi số km bằng 5 thì tiền taxi bằng 87 nghìn". Nếu bạn đọc được thành câu như vậy, bạn đã hiểu hàm.

Khi hàm có hai biến vào: f(x, y)

Không phải lúc nào cũng chỉ có một biến vào. Tiền đi chợ phụ thuộc cả khối lượng lẫn giá mỗi kg. Ta viết $P(m, p) = m \cdot p$, với $m$ là số kg, $p$ là giá một kg.

Thử $P(2, 30000) = 60000$. Ký hiệu $f(1, 3)$ nghĩa là thay $x = 1$ và $y = 3$ theo đúng thứ tự.

Đồ thị của hàm hai biến là một mặt cong trong không gian ba chiều, ta thường không vẽ mà đọc trực tiếp từ công thức. Bài tiếp theo sẽ làm đúng việc này với một công thức ML thật: mean squared error (MSE) là một hàm nhận hai biến vào và trả về một con số gọi là "sai số".

Bốn vấp thường gặp khi mới đọc hàm số và đồ thị

  • Nhầm $f(x)$ với phép nhân. $f(3)$ là "hàm $f$ tại 3", không phải $f \cdot 3$.
  • Đảo trục khi vẽ. Biến vào luôn nằm ngang, biến ra luôn nằm dọc. Đảo lại là câu chuyện đổi nghĩa hoàn toàn.
  • Nghĩ rằng hai giá trị vào phải cho hai giá trị ra khác nhau. Sai, $g(3)$ và $g(-3)$ cùng bằng 9 là hợp lệ.
  • Nhầm "hàm giảm" với "hàm âm". Hàm giảm nói về chiều đi của đồ thị, giá trị âm nói về vị trí so với trục ngang. Một hàm giảm vẫn có thể dương.

Quy tắc thực dụng: gặp một hàm lạ, luôn làm đúng ba bước, tính $f(0)$, tính $f(1)$, tính $f(2)$. Ba điểm đó thường đủ để bạn đoán hình dạng và kiểm tra mình có hiểu công thức không.

Ghi nhớ nhanh trước khi sang bài tiếp theo

  • Hàm số là một quy tắc: một giá trị vào, đúng một giá trị ra.
  • $f(x)$ là giá trị của hàm tại $x$, không phải phép nhân.
  • Bảng giá trị là cách chạy thử hàm; đồ thị là hình ảnh của bảng đó.
  • Đọc đồ thị từ trái sang phải: đi lên là tăng, đi xuống là giảm, dốc hơn là thay đổi nhanh hơn.
  • Hàm có thể nhận nhiều biến vào, ký hiệu $f(x, y)$.

Bài tiếp theo, "Đọc công thức mean squared error (MSE)", sẽ lấy đúng bộ ký hiệu này và áp vào một công thức ML thật: bạn sẽ chỉ ra đâu là biến vào, đâu là biến ra, và vì sao đồ thị của nó lại cong.

Trong f(x) = 2x + 1, x được gọi là _____ (biến độc lập). Với f(x) = 2x + 1, ta có f(4) = _____. Trên đồ thị, biến vào luôn nằm ở trục _____ (trục hoành). Một hàm số chỉ cho đúng _____ giá trị ra cho mỗi giá trị vào. Với g(x) = x², ta có g(-3) = _____.

Front: Hàm số là gì? Back: Một quy tắc nhận giá trị vào và trả về đúng một giá trị ra.

Front: Trong ký hiệu f(x), x là gì? Back: Biến vào, còn gọi là biến độc lập.

Front: f(x) đọc là gì? Back: "f của x", tức giá trị của hàm f tại x, không phải f nhân x.

Front: Với f(x) = 2x + 1, f(4) bằng bao nhiêu? Back: 9

Front: Với T(s) = 12000 + 15000·s, T(0) bằng bao nhiêu và nghĩa là gì? Back: 12000, tức giá mở cửa khi đi 0 km.

Front: Trục ngang của đồ thị biểu diễn đại lượng nào? Back: Biến vào x (trục hoành).

Front: Trục dọc của đồ thị biểu diễn đại lượng nào? Back: Giá trị ra f(x) (trục tung).

Front: Đồ thị đi lên từ trái sang phải nói lên điều gì? Back: Hàm đang tăng theo x.

Front: Đồ thị dốc hơn nghĩa là gì? Back: Hàm thay đổi nhanh hơn khi x tăng thêm 1 đơn vị.

Front: Với g(x) = x², g(-3) bằng bao nhiêu? Back: 9, bằng g(3), và điều này hợp lệ.

Front: Một giá trị vào có thể cho hai giá trị ra khác nhau không? Back: Không, mỗi giá trị vào chỉ có đúng một giá trị ra.

Front: Ký hiệu f(x, y) nghĩa là gì? Back: Hàm nhận hai biến vào theo thứ tự x rồi y, và cho một giá trị ra.

Front: Mỗi cặp (x, f(x)) tương ứng với gì trên đồ thị? Back: Tọa độ của một điểm, x theo trục ngang và f(x) theo trục dọc.

Front: Với A(c) = c², cạnh tăng gấp đôi thì diện tích thay đổi thế nào? Back: Diện tích tăng gấp bốn.