Ôn nhanh: biến cố, không gian mẫu và các quy tắc xác suất

By Better Wise

Đây là bài mở màn của module, và nó là bộ khung cho mọi thứ phía sau: xác suất có điều kiện, định lý Bayes, rồi khoảng tin cậy và p-value. Trước khi tin bất kỳ con số nào, người phân tích phải trả lời được ba câu: kết quả nào được phép xảy ra, biến cố mình quan tâm là tập con nào, và mình đang cộng hay đang nhân.

Sau bài này bạn sẽ:

• Liệt kê được không gian mẫu và mô tả biến cố dưới dạng tập con
• Áp dụng quy tắc cộng và xử lý phần giao thay vì cộng đôi
• Dùng phần bù cho các câu hỏi dạng "ít nhất một"
• Áp dụng quy tắc nhân khi có giả định độc lập, và biết khi nào giả định đó sai
• Kiểm tra một con số xác suất có nằm trong [0, 1] và có nhất quán với mẫu số không

Không gian mẫu: cái hộp trước khi bốc bi

Không gian mẫu (sample space) $S$ là tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Biến cố (event) $A$ là một tập con của $S$. Xác suất $P(A)$ là một số trong $[0, 1]$ gán cho tập con đó, với $P(S) = 1$.

Ví dụ thực tế: bảng log có 1.000 phiên truy cập trong một ngày. Nếu phép thử là "phiên này có thanh toán hay không", $S = {\text{có}, \text{không}}$. Nếu phép thử là "phiên này dùng thiết bị gì", $S = {\text{mobile}, \text{desktop}, \text{tablet}}$. Cùng một bảng dữ liệu, hai không gian mẫu khác nhau, hai cách tính khác nhau. Chọn sai không gian mẫu là lỗi khó thấy nhất, vì con số vẫn ra rất đẹp.

Ba tiên đề đủ dùng cho cả module: $P(A) \ge 0$; $P(S) = 1$; nếu $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Quy tắc cộng: chữ "hoặc" luôn kèm một phép trừ

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Phải trừ phần giao vì những phần tử đó bị đếm hai lần khi cộng.

Ví dụ số: 1.000 phiên. 120 phiên thêm vào giỏ ($A$), 90 phiên thanh toán ($B$), 40 phiên làm cả hai. Vậy $P(A \cup B) = 0{,}12 + 0{,}09 - 0{,}04 = 0{,}17$. Nếu bỏ phép trừ, bạn được 0,21 và đã đếm 40 phiên kia hai lần.

Khi nào bỏ được phép trừ? Khi $A$ và $B$ xung khắc (mutually exclusive), tức $P(A \cap B) = 0$. Trên dữ liệu thật, xung khắc thật là hiếm. "Khách hàng mới" và "đã mua trong 30 ngày" nghe như loại trừ nhau, nhưng chỉ cần bảng có trùng ID là giả định sụp.

Ví dụ ba tập: 2.000 user, 300 dùng mobile, 500 dùng web, 120 dùng cả hai. Ta có $P(\text{mobile} \cup \text{web}) = 0{,}15 + 0{,}25 - 0{,}06 = 0{,}34$. Do đó $P(\text{không dùng cả hai}) = 0{,}66$. Lưu ý cách đọc: 0,34 là "34% dùng ít nhất một trong hai", hoàn toàn không phải "34% dùng cả hai".

Phần bù: tín hiệu của câu hỏi "ít nhất một"

$$ P(A^c) = 1 - P(A) $$

Nghe tầm thường, nhưng đây là công cụ mạnh nhất khi đề bài có chữ "ít nhất".

Ví dụ: một banner hiển thị 3 lần cho mỗi user, giả sử mỗi lần độc lập với CTR = 5%. Xác suất có ít nhất một click là $1 - 0{,}95^3 = 1 - 0{,}857375 \approx 0{,}1426$, khoảng 14,3%. Tính trực tiếp "ít nhất một" bằng cách cộng ba trường hợp một, hai, ba click rồi trừ các giao là đường dài và dễ sai hơn nhiều.

Nhưng để ý chữ "giả sử". Nếu lần hiển thị thứ hai nhắm đúng vào người vừa click lần đầu (retargeting), ba lần đó không độc lập, và 14,3% chỉ còn là một cận chứ không phải ước lượng.

Quy tắc nhân: chữ "và" cần một lời thề độc lập

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \quad \text{chỉ khi } A, B \text{ độc lập} $$

Độc lập (independent) nghĩa là biết $A$ đã xảy ra không làm đổi xác suất của $B$. Đây là giả định cần kiểm chứng, không phải mặc định.

Cách kiểm tra nhanh trên dữ liệu: so $P(A \cap B)$ với $P(A) \cdot P(B)$. Ví dụ 1.000 đơn hàng: 20% giao trễ ($A$), 10% bị đánh giá 1 sao ($B$), và 4% vừa trễ vừa bị 1 sao. Tích là $0{,}02$, thực tế là $0{,}04$, gấp đôi. Kết luận: giao trễ và đánh giá xấu phụ thuộc nhau, đừng nhân. Trường hợp không độc lập cần xác suất có điều kiện, đó là nội dung bài kế tiếp.

Ghép lại: một funnel onboarding

Bối cảnh: 1.000 user vào luồng onboarding. Dữ liệu cho thấy 25% bỏ ở bước 1 và 15% bỏ ở bước 2.

Nếu (và chỉ nếu) hai lần bỏ là độc lập: $P(\text{bỏ cả hai}) = 0{,}25 \cdot 0{,}15 = 0{,}0375$, và $P(\text{bỏ ít nhất một}) = 1 - (0{,}75 \cdot 0{,}85) = 0{,}3625$, tức khoảng 363 user.

Giờ đến phần phản biện. Người bỏ ở bước 1 không bao giờ tới bước 2, nên hai biến cố bị ràng buộc bởi chính cấu trúc funnel. Câu "15% bỏ ở bước 2" chỉ có nghĩa khi mẫu số là số người đã tới bước 2, không phải 1.000. Phép nhân ở trên đúng về số học nhưng sai về mô hình, và đó là lý do bài sau tồn tại.

Tự kiểm tra nhanh:

Với hai biến cố xung khắc A và B, P(A ∪ B) = _____. Với hai biến cố bất kỳ, P(A ∪ B) = _____. Công thức phần bù là P(A^c) = _____. Nếu A và B độc lập thì P(A ∩ B) = _____. Với ba lần hiển thị độc lập có CTR 0,05 mỗi lần, xác suất ít nhất một click là _____.

Những cái bẫy khi tính xác suất trên log thật

• Ba câu hỏi trước khi tin một con số: tổng các xác suất có bằng 1 chưa, có cộng đôi phần giao không, và giả định độc lập đã được kiểm chứng bằng dữ liệu chưa.
• "Hoặc" trong tiếng Việt thường là exclusive, "hoặc" trong toán là inclusive. Nếu đề là "hoặc A hoặc B nhưng không cả hai", đó là $P(A \cup B) - P(A \cap B)$, không phải $P(A \cup B)$.
• Luôn hỏi mẫu số. 40/1.000 và 40/120 là hai câu chuyện hoàn toàn khác nhau.
• Nếu phải cộng nhiều hơn ba biến cố, hãy đổi sang tính phần bù trước. Gần như luôn ngắn hơn.
• Đừng so sánh số thực bằng dấu bằng trong code: $0{,}12 + 0{,}09 - 0{,}04$ có thể ra 0.17000000000000003.
• Một xác suất lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 0 không phải "sai số làm tròn", đó là dấu hiệu bạn đã đếm trùng hoặc chọn sai không gian mẫu.

Điều cần nhớ trước khi sang bài xác suất có điều kiện

• Không gian mẫu trước, công thức sau.
• "Hoặc" thì cộng và nhớ trừ phần giao. "Và" thì nhân và nhớ kiểm tra độc lập. "Ít nhất một" thì đi qua phần bù.
• Độc lập là giả định phải kiểm chứng, không phải quy ước cho tiện.
• Xác suất chỉ có nghĩa khi mẫu số rõ ràng.

Bài tiếp theo, xác suất có điều kiện và cây quyết định, sẽ xử lý đúng chỗ mà bài này phải tạm dừng: tính $P(A \cap B)$ khi $A$ và $B$ phụ thuộc nhau, và cách vẽ cây để không bỏ sót nhánh nào.

[
  { "front": "Không gian mẫu (sample space) là gì?", "back": "Tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra của một phép thử, với P(S) = 1." },
  { "front": "Biến cố (event) được mô tả thế nào trong ngôn ngữ tập hợp?", "back": "Là một tập con của không gian mẫu." },
  { "front": "Quy tắc cộng cho hai biến cố bất kỳ?", "back": "P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)." },
  { "front": "Khi nào bỏ được số hạng -P(A ∩ B) trong quy tắc cộng?", "back: "Khi A và B xung khắc (disjoint), tức là P(A ∩ B) = 0." },
  { "front": "Quy tắc nhân cho hai biến cố độc lập?", "back": "P(A ∩ B) = P(A) × P(B) khi và chỉ khi A và B độc lập." },
  { "front": "Hai biến cố độc lập nghĩa là gì?", "back": "Biết A đã xảy ra không làm thay đổi xác suất của B, tức P(B | A) = P(B)." },
  { "front": "Xung khắc và độc lập có phải cùng một chuyện?", "back": "Không. Hai biến cố xung khắc có xác suất dương thì luôn phụ thuộc, vì xảy ra A loại bỏ B." },
  { "front": "Quy tắc phần bù phát biểu thế nào?", "back": "P(Aᶜ) = 1 - P(A), dùng khi tính trực tiếp A khó hơn tính phần bù." },
  { "front": "Cụm 'ít nhất một' trong đề bài nên xử lý ra sao?", "back": "Đi qua phần bù: P(ít nhất một) = 1 - P(không có cái nào), rồi nhân xác suất không xảy ra." },
  { "front": "Công thức xác suất cổ điển với các kết quả đồng khả năng?", "back": "P(A) = số kết quả thuận lợi cho A chia cho tổng số kết quả trong không gian mẫu." },
  { "front": "Ba tiên đề khiến một hàm số trở thành phân bố xác suất hợp lệ?", "back": "P(S) = 1; P(A) ≥ 0; cộng xác suất các biến cố xung khắc lại với nhau." },
  { "front": "Vì sao phải viết rõ mẫu số trước khi so sánh hai xác suất?", "back": "Vì 40/1.000 và 40/120 cùng tử số nhưng mang ý nghĩa hoàn toàn khác nhau." },
  { "front": "Dấu hiệu cho thấy bạn đã đếm trùng khi tính xác suất?", "back": "Kết quả lớn hơn 1, thường do quên trừ phần giao hoặc chọn sai không gian mẫu." }
]

Điền nhanh để kiểm tra bạn còn nhớ các quy tắc:

Với hai biến cố bất kỳ, quy tắc cộng cho P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - _____. Nếu A và B xung khắc thì P(A ∩ B) = _____, nên P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Quy tắc nhân P(A ∩ B) = P(A) × P(B) chỉ đúng khi A và B _____. Xác suất của biến cố "ít nhất một lần xảy ra" thường tính nhanh nhất qua _____, tức 1 trừ đi xác suất không lần nào xảy ra. Mọi xác suất hợp lệ đều nằm trong khoảng từ _____ đến 1.