🧭 Vector là gì: biểu diễn và tọa độ

By Better Wise

beginner

Mở đầu: một mũi tên, hai con số

Toàn bộ khóa học này bắt đầu từ một thứ rất nhỏ: một mũi tên vẽ trên bảng. Học cách đọc mũi tên đó thành danh sách các con số, rồi đọc danh sách con số đó thành mũi tên, là nền móng cho mọi thứ phía sau: cộng vector, tính góc, nhân ma trận, và cả cách Google hay Netflix so sánh dữ liệu với nhau.

Sau bài học này, người học có thể:

  • Nhận ra vector là gì trong hình học và trong dữ liệu thực tế.
  • Viết một vector dưới dạng tọa độ $(x, y)$ và đọc được ý nghĩa của từng con số.
  • Vẽ một vector trên mặt phẳng tọa độ, kể cả khi các thành phần âm.
  • Tính tọa độ vector đi từ điểm $A$ đến điểm $B$.
  • Chuyển một hàng trong bảng dữ liệu thành một vector nhiều chiều.

Vector: mũi tên có hướng và độ lớn

Trên bảng, tôi vẽ một mũi tên từ điểm $A$ sang điểm $B$. Mũi tên đó có hai thông tin không thể tách rời: nó chỉ về đâu (hướng) và nó dài bao nhiêu (độ lớn). Một đại lượng có đủ hai thông tin này gọi là vector. Ngược lại, một con số đơn lẻ như "5 kg" hay "30 độ C" chỉ có độ lớn, đó là scalar.

Ký hiệu: vector thường được viết $\vec{v}$ hoặc $\overrightarrow{AB}$ nếu nó đi từ $A$ đến $B$. Điểm $A$ gọi là điểm đầu, điểm $B$ gọi là điểm cuối.

Có một điểm quan trọng mà sinh viên hay bỏ qua: vector không quan tâm nó nằm ở đâu trên mặt phẳng, chỉ quan tâm hướng và độ dài. Vì vậy người ta thường vẽ vector bắt đầu từ gốc tọa độ $O$ cho gọn, và gọi đó là vector vị trí.

Note: Độ dài của vector sẽ được gọi tên chính thức là chuẩn L2 ở Module 3. Trong bài này ta chỉ cần hiểu nó là "mũi tên dài bao nhiêu", tính bằng định lý Pythagoras.

Tọa độ: vector trở thành danh sách con số

Đây là bước ngoặt của bài học. Thay vì vẽ mũi tên, ta mô tả nó bằng hai con số: đi bao xa theo trục ngang, đi bao xa theo trục dọc.

$$ \vec{v} = (x, y) $$

Quy ước đọc: từ gốc $O$, đi $x$ đơn vị theo trục hoành (sang phải nếu $x > 0$, sang trái nếu $x < 0$), rồi đi $y$ đơn vị theo trục tung (lên trên nếu $y > 0$, xuống dưới nếu $y < 0$). Điểm dừng lại chính là điểm cuối của mũi tên.

Ví dụ, $\vec{v} = (3, 2)$ nghĩa là đi 3 sang phải, 2 lên trên. Còn $\vec{u} = (-1, -4)$ nghĩa là đi 1 sang trái, 4 xuống dưới. Dấu trừ không phải "trừ đi", nó là chỉ dẫn phương hướng.

Trong không gian ba chiều, vector chỉ cần thêm một con số: $(x, y, z)$. Nhìn chung, vector $n$ chiều là một danh sách $n$ con số có thứ tự. Thứ tự rất quan trọng: $(3, 2)$ và $(2, 3)$ là hai vector khác nhau.

Từ tọa độ, độ dài được tính bằng Pythagoras:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Ba trường hợp đặc biệt cần nhớ: vector không $(0,0)$ không có hướng, vector đơn vị có độ dài bằng 1, và hai vector bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.

Thử ngay 1. Vector $\vec{a} = (6, 8)$ dài bao nhiêu? Nếu vẽ nó từ gốc $O$, điểm cuối nằm ở đâu?

Xem đáp án

Độ dài: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Điểm cuối là $(6, 8)$: đi 6 sang phải, 8 lên trên. Bộ số $(6, 8, 10)$ chính là bộ ba Pythagoras quen thuộc.

Vẽ vector trên mặt phẳng tọa độ

Khi đã có tọa độ, việc vẽ trở nên máy móc. Quy trình ba bước:

  1. Chấm điểm đầu (thường là gốc $O$, hoặc một điểm $A$ cho trước).
  2. Đếm theo trục ngang đúng số đơn vị của thành phần thứ nhất, rồi theo trục dọc theo thành phần thứ hai.
  3. Chấm điểm cuối và vẽ mũi tên từ điểm đầu tới điểm cuối.

Nếu vector không bắt đầu từ gốc, ta vẫn làm y hệt, chỉ khác điểm xuất phát. Muốn biết tọa độ của $\overrightarrow{AB}$, lấy điểm cuối trừ điểm đầu:

$$ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,; y_B - y_A) $$

Ví dụ $A(1, 2)$ và $B(4, 6)$: $\overrightarrow{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4)$. Kiểm tra bằng mắt: từ $A$ đi 3 sang phải, 4 lên trên thì tới đúng $B$. Đảo chiều lại, $\overrightarrow{BA} = (-3, -4)$: cùng phương nhưng ngược hướng, và đúng là dấu của cả hai thành phần đều lật.

Thử ngay 2. Cho $M(5, 1)$ và $N(2, 5)$. Tính $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NM}$.

Xem đáp án

$\overrightarrow{MN} = (2-5, 5-1) = (-3, 4)$: đi 3 sang trái, 4 lên trên. $\overrightarrow{NM} = (3, -4)$: ngược hướng hoàn toàn. Lưu ý cả hai vector này đều dài 5, vì $3^2 + 4^2 = 25$.

Từ hai con số đến hàng trăm con số: vector đặc trưng

Đây là chỗ toán học rời bảng đen và bước vào sản phẩm bạn dùng hằng ngày. Một vector không nhất thiết phải là hình học. Nó có thể là một feature vector: mỗi thành phần là một con số đo một đặc trưng nào đó.

Giả sử ta có bảng số lần xem phim theo thể loại:

Người dùng Hành động Hài Kinh dị Hoạt hình
An 4 1 0 3
Bình 0 5 2 1

Mỗi hàng trở thành một vector: An là $(4, 1, 0, 3)$, Bình là $(0, 5, 2, 1)$. Thứ tự các cột là thứ tự các thành phần, nên phải cố định thứ tự cột trước khi chuyển thành vector. Việc biến cả bảng thành ma trận sẽ là nội dung của Module 2, còn bây giờ bạn chỉ cần thấy: một vector 4 chiều ở đây hoàn toàn giống một mũi tên, chỉ khác là nó có 4 trục thay vì 2, và ta không vẽ ra giấy được nữa.

flowchart TD
  Arrow["🏹<br/>Mũi tên trên bảng"] --> Coord["🔢<br/>Tọa độ (x, y)"]
  Coord --> Plane["📐<br/>Điểm trên mặt phẳng"]
  Coord --> Feature["📊<br/>Feature vector nhiều chiều"]
  Feature --> Data["🗂️<br/>Một hàng dữ liệu"]

Điều kỳ diệu (và cũng là lý do khóa học này tồn tại): mọi công thức bạn học với vector 2 chiều đều dùng được cho vector 1000 chiều. Đó là cách máy tìm kiếm và hệ gợi ý hoạt động.

Thử ngay 3. Một bài hát được mô tả bởi ba con số: độ sôi động, độ buồn, độ dễ nhớ, theo thang 0 đến 10. Bài hát X có vector $(8, 2, 9)$. Hãy đọc thành lời ý nghĩa của vector này.

Xem đáp án

Bài hát rất sôi động (8/10), khá ít buồn (2/10), và rất dễ nhớ (9/10). Nếu đổi thứ tự thành (độ buồn, độ sôi động, độ dễ nhớ) thì vector phải viết lại là $(2, 8, 9)$. Cùng dữ liệu nhưng khác thứ tự thành phần là khác vector.

Ba lỗi hay gặp khi đọc tọa độ vector

  • Lẫn tọa độ điểm với vector. Điểm $(3, 4)$ là một chỗ trên mặt phẳng. Vector $(3, 4)$ là một mũi tên có hướng và độ dài. Chúng liên quan nhưng không phải một.
  • Trừ ngược thứ tự. $\overrightarrow{AB}$ luôn là "điểm cuối trừ điểm đầu". Nếu ra dấu ngược với hình vẽ, gần như chắc chắn bạn đã trừ sai chiều.
  • Đọc sai dấu âm. $x$ âm là sang trái, $y$ âm là xuống dưới. Trước khi vẽ, hãy đọc thành lời cả hai dấu.

Mẹo của tôi khi lên bảng: luôn vẽ mũi tên ra trước, viết tọa độ ra sau, rồi tự kiểm tra bằng cách đếm ô. Nếu đếm không khớp, sai ở đâu đó trong lúc trừ.

Ba câu điền nhanh để tự kiểm tra:

  • Vector $\vec{v} = (-2, 5)$ nghĩa là đi _____ đơn vị sang trái và _____ đơn vị lên trên.
  • Tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ bằng _____.
  • Hai vector bằng nhau khi chúng có cùng _____.
  • Vector không có tọa độ là _____.
  • Độ dài của vector $(6, 8)$ bằng _____.

Ghi nhớ nhanh và bước tiếp theo

Bốn điều mang theo: vector là mũi tên có hướng và độ lớn; tọa độ chỉ là cách viết mũi tên đó thành danh sách con số có thứ tự; $\overrightarrow{AB}$ bằng điểm cuối trừ điểm đầu; và một hàng dữ liệu chính là một vector nhiều chiều.

Bài sau, Cộng vector và nhân vô hướng, sẽ trả lời câu hỏi tự nhiên nhất: khi có hai mũi tên, ta ghép chúng lại và kéo dài, thu ngắn chúng như thế nào, và điều đó có nghĩa gì với tọa độ.

Front: Vector là gì? Back: Đại lượng có cả hướng và độ lớn, biểu diễn bằng một mũi tên.

Front: Vector trong mặt phẳng được viết dưới dạng tọa độ như thế nào? Back: (x, y), với x là thành phần ngang và y là thành phần dọc.

Front: Thành phần x âm cho biết điều gì? Back: Đi sang trái so với điểm đầu.

Front: Thành phần y âm cho biết điều gì? Back: Đi xuống dưới so với điểm đầu.

Front: Công thức tọa độ của vector AB là gì? Back: (x_B - x_A, y_B - y_A), tức điểm cuối trừ điểm đầu.

Front: Hai vector bằng nhau khi nào? Back: Khi chúng có cùng tọa độ, tức cùng hướng và cùng độ dài, bất kể vẽ ở đâu.

Front: Vector không là vector nào? Back: (0, 0), có độ dài bằng 0 và không có hướng.

Front: Độ dài của vector (x, y) tính bằng công thức nào? Back: Căn bậc hai của (x^2 + y^2), theo định lý Pythagoras.

Front: Độ dài của vector (3, 4) bằng bao nhiêu? Back: 5, vì 3^2 + 4^2 = 25.

Front: Vector (3, 4) và (4, 3) có bằng nhau không? Back: Không, khác tọa độ nên khác hướng; thứ tự thành phần rất quan trọng.

Front: Vector đơn vị là gì? Back: Vector có độ dài bằng đúng 1.

Front: Feature vector là gì? Back: Vector nhiều chiều mà mỗi thành phần là một đặc trưng đo được của đối tượng.

Front: Một hàng trong bảng dữ liệu trở thành gì khi chuyển sang vector? Back: Một vector gồm các giá trị của hàng đó, theo đúng thứ tự cột đã cố định.