# ⚖️ Biến ngẫu nhiên, kỳ vọng và phương sai

By Better Wise

## Từ không gian mẫu đến một con số có thể tính

Ba bài trước, ta dừng ở chỗ mô tả biến cố bằng xác suất: "khả năng bán được ít nhất 2 ổ bánh là bao nhiêu". Câu hỏi đó đúng, nhưng chưa đủ để ra quyết định. Người quản lý quầy bánh không hỏi "khả năng bán 3 ổ là bao nhiêu", họ hỏi "trung bình mỗi sáng tôi lãi bao nhiêu, và mức dao động quanh con số đó lớn cỡ nào". Để trả lời, ta phải gán số cho kết quả, và đó là việc của biến ngẫu nhiên.

Sau bài này, bạn sẽ:

- Phân biệt được biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, và biết khi nào dùng loại nào.
- Lập được bảng phân phối xác suất cho một biến rời rạc từ tình huống kinh doanh nhỏ.
- Tính được kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và giải thích được ý nghĩa của từng con số.
- Nhận ra khi nào một con số kỳ vọng đẹp mà vẫn không đáng tin.

## Gán số cho kết quả: biến ngẫu nhiên là gì

Biến ngẫu nhiên (random variable) là một hàm gán một số thực cho mỗi kết quả trong không gian mẫu. Nó không phải "biến" theo nghĩa đại số, mà là cách dán nhãn số lên kết quả ngẫu nhiên để ta tính toán được.

- **Rời rạc**: nhận các giá trị đếm được. Ví dụ: tung hai đồng xu, gọi X là số mặt ngửa, X nhận 0, 1, 2 với xác suất 0.25, 0.50, 0.25.
- **Liên tục**: nhận mọi giá trị trong một khoảng. Ví dụ: thời gian chờ của khách, doanh thu trong ngày. Với loại này, xác suất tại đúng một điểm bằng 0, ta chỉ nói được xác suất nằm trong một khoảng, tính bằng diện tích dưới hàm mật độ (density).

Bài này tập trung vào loại rời rạc, vì nó là nền cho Bernoulli và nhị thức ở bài sau.

## Bảng phân phối xác suất của biến rời rạc

Một bảng chỉ hợp lệ khi thỏa hai điều kiện: mọi xác suất không âm, và tổng của chúng bằng đúng 1. Đây là chỗ đầu tiên nên kiểm tra trước khi tin bất kỳ phép tính nào.

Quầy bánh mì ghi lại số ổ bán được trong khung 7h đến 8h của 100 buổi sáng:

| x (số ổ bán được) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P(X = x) | 0.10 | 0.35 | 0.40 | 0.15 |

Tổng bằng 1.00, hợp lệ. Lưu ý ngay: 10% số buổi sáng không bán được ổ nào.

## Kỳ vọng: trung bình có trọng số theo xác suất

Kỳ vọng của biến rời rạc:

$$
E[X] = \sum_x x \cdot P(X = x)
$$

Với bảng trên: E[X] = 0(0.10) + 1(0.35) + 2(0.40) + 3(0.15) = 1.6 ổ mỗi sáng.

Cần đọc đúng con số này. **Kỳ vọng là trung bình dài hạn, không phải dự báo cho một buổi sáng cụ thể.** Không buổi nào bán đúng 1.6 ổ. Nếu chỉ có dữ liệu của 100 buổi, con số 1.6 còn dao động; ta chưa có sai số chuẩn để nói nó chắc đến đâu, phần đó ở Module 3.

Hai tính chất dùng nhiều: E[aX + b] = a·E[X] + b, và kỳ vọng của tổng luôn bằng tổng các kỳ vọng, kể cả khi các biến không độc lập.

## Phương sai và độ lệch chuẩn: đo mức thất thường

Hai quầy có cùng kỳ vọng 1.6 ổ vẫn có thể rất khác nhau: một quầy bán đều đặn 1 đến 2 ổ, quầy kia lúc 0 lúc 3. Kỳ vọng không phân biệt được hai trường hợp đó. Phương sai thì có.

$$
\mathrm{Var}(X) = E\left[(X - \mu)^2\right] = E[X^2] - \mu^2
$$

Cách tính nhanh: tính E[X²] trước. E[X²] = 0(0.10) + 1(0.35) + 4(0.40) + 9(0.15) = 3.3. Suy ra Var(X) = 3.3 − 1.6² = 3.3 − 2.56 = 0.74, và độ lệch chuẩn SD = √0.74 ≈ 0.86 ổ.

Độ lệch chuẩn đáng đọc hơn phương sai vì cùng đơn vị với X ("0.86 ổ" dễ hình dung hơn "0.74 ổ bình phương"). Ngoài ra Var(aX + b) = a²·Var(X): cộng thêm hằng số không làm dữ liệu dao động hơn, nhân hệ số thì có, và theo bình phương.

## Bài toán nhập hàng: kỳ vọng nói gì và không nói gì

Mỗi ổ nhập vào giá 4 nghìn, bán ra 10 nghìn. Mỗi sáng chỉ được nhập một lần. So sánh nhập 2 ổ và nhập 3 ổ:

| X (bán được) | P(X) | Lãi khi nhập 2 | Lãi khi nhập 3 |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0.10 | -8 | -12 |
| 1 | 0.35 | 2 | -2 |
| 2 | 0.40 | 12 | 8 |
| 3 | 0.15 | 12 | 18 |

Kỳ vọng: nhập 2 cho E = 6.5 nghìn mỗi sáng; nhập 3 cho E = 4.0 nghìn. Độ lệch chuẩn: khoảng 6.69 so với 8.60. Nhập 2 thắng ở cả hai mặt, và đó là lý do ta nên báo cáo cả hai con số chứ không chỉ kỳ vọng.

Nhưng khoan đã. Kỳ vọng 6.5 nghìn không nói rằng 10% số sáng ta lỗ 8 nghìn. Nếu quầy chỉ có 20 nghìn vốn lưu động, hai buổi lỗ liên tiếp là đủ để dừng hoạt động. Kỳ vọng dương chưa chắc là quyết định đúng; nó chỉ là một tọa độ, cần đọc kèm phương sai và khả năng chịu đựng của người ra quyết định.

## Tự kiểm tra: điền vào chỗ trống

Kỳ vọng của biến rời rạc X bằng tổng của x nhân xác suất, viết gọn là _____.
Tổng các xác suất trong một bảng phân phối hợp lệ phải bằng _____.
Công thức tính nhanh phương sai là Var(X) = _____.
Độ lệch chuẩn bằng _____.
Nếu Y = 3X + 2 thì Var(Y) = _____.

## Bốn lỗi thường gặp khi tính kỳ vọng và phương sai

- **Quên kiểm tra tổng xác suất.** Bảng lệch 0.98 hay 1.02 thường là lỗi làm tròn, nhưng cũng có thể là thiếu một giá trị trong miền. Sửa ở đây rẻ hơn nhiều so với sửa sau khi đã báo cáo.
- **Đọc kỳ vọng như một dự báo.** "Trung bình 1.6 ổ" không có nghĩa là nên chuẩn bị đúng 1.6 ổ. Câu hỏi thực tế thường là "cần bao nhiêu để 90% số sáng không hết hàng", đó là bài toán phân vị, không phải kỳ vọng.
- **Dùng phương sai để so sánh hai đơn vị khác thang đo.** So Var của "số ổ bánh" với Var của "doanh thu nghìn đồng" là vô nghĩa. Đưa về độ lệch chuẩn hoặc hệ số biến thiên trước.
- **Tính Var(aX + b) thành a·Var(X).** Hệ số nhân phải bình phương. Đây là lỗi bị trừ điểm nhiều nhất trong các bài kiểm tra, và cũng là lỗi xuất hiện trong báo cáo thật.

Một mẹo nhỏ: khi con số kỳ vọng trông quá đẹp, hãy vẽ ngay bảng phân phối ra giấy và tự hỏi "kịch bản xấu nhất chiếm bao nhiêu phần trăm". Nếu câu trả lời lớn hơn mức bạn chịu được, con số kỳ vọng đang che mất rủi ro.

## Ôn tập nhanh bằng flashcard

Front: Biến ngẫu nhiên là gì?
Back: Một hàm gán số thực cho mỗi kết quả trong không gian mẫu.

Front: Phân biệt biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục?
Back: Rời rạc nhận các giá trị đếm được; liên tục nhận mọi giá trị trong một khoảng.

Front: Hai điều kiện để một bảng là phân phối xác suất hợp lệ?
Back: Mọi xác suất không âm và tổng của chúng bằng 1.

Front: Công thức kỳ vọng của biến rời rạc?
Back: E[X] = tổng của x nhân P(X = x).

Front: Kỳ vọng mô tả điều gì?
Back: Trung bình có trọng số theo xác suất khi lặp lại phép thử rất nhiều lần.

Front: Công thức tính nhanh phương sai?
Back: Var(X) = E[X²] - (E[X])².

Front: Vì sao thường báo cáo độ lệch chuẩn thay vì phương sai?
Back: Vì độ lệch chuẩn cùng đơn vị với X nên dễ diễn giải hơn.

Front: E[aX + b] bằng gì?
Back: a·E[X] + b.

Front: Var(aX + b) bằng gì?
Back: a²·Var(X); cộng hằng số không làm thay đổi phương sai.

Front: E[X²] và (E[X])² có bằng nhau không?
Back: Nói chung là không; E[X²] lớn hơn hoặc bằng, chỉ bằng khi X gần như hằng số.

Front: Kỳ vọng 1.6 ổ bánh mỗi sáng nghĩa là gì?
Back: Trung bình dài hạn khoảng 1.6 ổ, không phải số bán được của một buổi cụ thể.

Front: Với biến liên tục, xác suất tại đúng một điểm bằng bao nhiêu?
Back: Bằng 0; xác suất chỉ tính được cho một khoảng, qua diện tích dưới density.

Front: Vì sao kỳ vọng dương chưa đủ để ra quyết định?
Back: Vì nó không cho biết xác suất và mức lỗ của kịch bản xấu, tức là không cho biết rủi ro.

## Mang gì sang bài Bernoulli, nhị thức và phân phối chuẩn

Tóm lại: biến ngẫu nhiên biến kết quả thành số; bảng phân phối liệt kê số đó kèm xác suất; kỳ vọng cho tâm, phương sai và độ lệch chuẩn cho độ rộng quanh tâm. Một báo cáo chỉ có kỳ vọng là một báo cáo chưa nói hết chuyện.

Bài sau, ta sẽ thôi lập bảng thủ công. Bernoulli mô tả đúng một lần thử đúng sai, nhị thức mô tả số lần đúng trong n lần thử, và phân phối chuẩn mô tả phần lớn các tổng và trung bình ta gặp trong dữ liệu thật. Khi đó kỳ vọng và phương sai sẽ có công thức đóng, không cần cộng từng dòng nữa.

---

## Contents

Part of [🎲 Khóa 4: Toán cho Machine Learning — xác suất, thống kê và đánh giá mô hình](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh.md)

- **🎯 Xác suất, biến cố và định lý Bayes**
  - [🔁 Ôn nhanh: biến cố, không gian mẫu và các quy tắc xác suất](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/on-nhanh-bien-co-khong-gian-mau-va-quy-tac-xac-suat.md)
  - [🌿 Xác suất có điều kiện và cây quyết định](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/xac-suat-co-dieu-kien-va-cay-quyet-dinh.md) (sign-in required)
  - [🔮 Định lý Bayes và suy luận ngược](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/dinh-ly-bayes-va-suy-luan-nguoc.md)
  - [✅ Checkpoint: xác suất và định lý Bayes](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/checkpoint-xac-suat-va-dinh-ly-bayes.md)
- **📊 Biến ngẫu nhiên và các phân phối cốt lõi**
  - [⚖️ Biến ngẫu nhiên, kỳ vọng và phương sai](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/bien-ngau-nhien-ky-vong-va-phuong-sai.md) — this lesson
  - [🔔 Bernoulli, nhị thức và phân phối chuẩn](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/bernoulli-nhi-thuc-va-phan-phoi-chuan.md)
  - [🧪 Checkpoint: biến ngẫu nhiên và phân phối](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/checkpoint-bien-ngau-nhien-va-phan-phoi.md)
- **📈 Lấy mẫu, suy diễn thống kê và metrics trên dữ liệu thật**
  - [🎣 Lấy mẫu, ước lượng điểm và sai số chuẩn](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/lay-mau-uoc-luong-diem-va-sai-so-chuan.md)
  - [🚦 Khoảng tin cậy và p-value: trực giác và cách đọc sai](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/khoang-tin-cay-va-p-value-truc-giac-va-cach-doc-sai.md)
  - [🧭 Precision, recall và ROC-AUC như đại lượng thống kê](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/precision-recall-va-roc-auc-nhu-dai-luong-thong-ke.md) (premium content)
  - [🏁 Checkpoint: suy diễn thống kê và metrics](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/checkpoint-suy-dien-thong-ke-va-metrics.md) (premium content)
- [Course cheatsheet](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/cheatsheet.md) (premium content)