# 🔔 Bernoulli, nhị thức và phân phối chuẩn

By Better Wise

Bài trước bạn lập bảng phân phối bằng tay và tính $E[X] = \sum x P(x)$, $\text{Var}(X) = \sum (x-\mu)^2 P(x)$. Cách đó đúng nhưng không mở rộng được: không ai ngồi lập bảng cho 200 lần thử. Ba phân phối dưới đây là ba khuôn mẫu đã giải sẵn, phủ phần lớn tình huống bạn gặp trên dữ liệu thật.

Sau bài này, bạn có thể:
- Chọn đúng phân phối cho một tình huống: một lần thử, đếm trong n lần thử, hay một đại lượng liên tục.
- Tính xác suất nhị thức bằng công thức và kiểm tra chéo bằng kỳ vọng.
- Chuẩn hóa về z-score và đọc quy tắc 68-95-99.7.
- Nhận ra khi nào giả định của mô hình nhị thức bị vi phạm.

> **Note:** 
> Câu hỏi xuyên suốt bài này: con số này có ý nghĩa hay chỉ là nhiễu? Phân phối cho ta biết "nhiễu bình thường trông như thế nào". Không có mốc đó, mọi chênh lệch đều trông như tín hiệu.

## Bernoulli: đúng một lần thử, hai kết cục

Một phép thử chỉ có hai kết cục, gán 1 cho kết cục ta quan tâm và 0 cho phần còn lại. Ví dụ: một email là spam (1) hay không (0), một khách hàng bấm quảng cáo (1) hay không (0).

$$
P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p
$$

$$
E[X] = p, \quad \text{Var}(X) = p(1-p)
$$

**Ví dụ có số.** Bộ lọc gắn nhãn 8% email là spam, tức $p = 0.08$. Kỳ vọng là 0.08, phương sai là $0.08 \times 0.92 = 0.0736$, độ lệch chuẩn khoảng 0.271.

Chỗ đáng nghi: phương sai của Bernoulli đạt cực đại khi $p = 0.5$. Nghĩa là mô hình "không biết gì cả" lại là mô hình bất định nhất, còn khi $p = 0.01$ hay $p = 0.99$ thì kết quả gần như đã biết trước. Đây là lý do các bài toán phát hiện gian lận với tỉ lệ dương tính cực thấp khó hơn nhiều so với bài toán cân bằng.

## Nhị thức: đếm số lần đúng trong n lần thử

Nhị thức là tổng của $n$ biến Bernoulli độc lập, cùng $p$. Bốn điều kiện phải kiểm tra trước khi dùng: số lần thử $n$ cố định trước, mỗi lần chỉ hai kết cục, $p$ không đổi giữa các lần, và các lần độc lập với nhau.

$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
$$

$$
E[X] = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)
$$

**Ví dụ có số.** Vẫn $p = 0.08$, xét 20 email: $n = 20$. Kỳ vọng $np = 1.6$ email spam, độ lệch chuẩn $\sqrt{1.472} \approx 1.21$.

- $P(X = 0) = 0.92^{20} \approx 0.189$
- $P(X = 1) \approx 0.328$, $P(X = 2) \approx 0.271$
- $P(X \ge 1) = 1 - 0.189 \approx 0.811$
- $P(X \ge 4) \approx 0.071$

Cách đọc: thấy 4 email spam trong 20 email là lệch khoảng $4 - 1.6 = 2.4$ so với kỳ vọng, tức gần 2 độ lệch chuẩn, đáng chú ý nhưng không hiếm (7% khả năng xảy ra ngẫu nhiên). Đó là toàn bộ khác biệt giữa "trông lạ" và "kết luận được".

Khi $p$ nhỏ, phân phối nhị thức lệch hẳn về phải, đuôi phải dày hơn phân phối chuẩn cùng trung bình. Đừng vẽ đường cong chuẩn lên một biểu đồ nhị thức với $p = 0.02$ rồi kết luận về đuôi.

## Phân phối chuẩn và quy tắc 68-95-99.7

Chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$ mô tả các đại lượng liên tục chịu tổng của nhiều nguồn nhiễu nhỏ: thời gian phản hồi API, sai số đo, chiều cao. Mọi phân phối chuẩn đều đưa về một dạng duy nhất bằng z-score:

$$
z = \frac{x - \mu}{\sigma}
$$

$z$ chính là "cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn". Từ đó có quy tắc ngón tay: khoảng 68% giá trị nằm trong $\pm 1\sigma$, 95% trong $\pm 2\sigma$, 99.7% trong $\pm 3\sigma$.

**Ví dụ có số.** Thời gian phản hồi API có $\mu = 200$ ms, $\sigma = 40$ ms. Muốn biết tỉ lệ request chậm hơn 280 ms: $z = (280-200)/40 = 2$, tra bảng được $P(Z > 2) \approx 0.0228$. Vậy khoảng 2.3% request vượt 280 ms. Tương tự, 95% request rơi vào khoảng 120 đến 280 ms.

**Xấp xỉ nhị thức bằng chuẩn.** Với $n = 200$, $p = 0.08$: $\mu = 16$, $\sigma = \sqrt{14.72} \approx 3.84$. Muốn $P(X \ge 20)$, dùng hiệu chỉnh liên tục: $z = (19.5 - 16)/3.84 \approx 0.91$, cho kết quả khoảng 0.18, sát với giá trị chính xác của nhị thức. Quy tắc an toàn: chỉ xấp xỉ khi $np \ge 5$ và $n(1-p) \ge 5$.

## Chọn phân phối nào?

| Phân phối | Tham số | $E[X]$ | $\text{Var}(X)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| Bernoulli$(p)$ | $p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| Nhị thức$(n,p)$ | $n, p$ | $np$ | $np(1-p)$ |

```mermaid
flowchart TD
    Q["❓<br/>Đại lượng cần mô tả"] --> A{"Đếm số lần đúng trong n lần thử?"}
    A -->|"Đúng, n = 1"| B["🎯<br/>Bernoulli p"]
    A -->|"Đúng, n lớn hơn 1"| C["🔢<br/>Nhị thức n, p"]
    A -->|"Không, đo đại lượng liên tục"| D["📈<br/>Chuẩn mu, sigma"]
    C -->|"np ≥ 5 và n(1-p) ≥ 5"| D
```

Ba câu hỏi theo thứ tự: đại lượng là **số lần đúng** hay **một phép đo**? Nếu là số lần đúng thì có đúng **một lần thử** không? Nếu nhiều lần thử, các lần có **độc lập và cùng p** không? Chỉ khi cả ba câu trả lời khớp, công thức mới đứng vững.

**Ví dụ chọn phân phối, có số.** Một team vận hành kiểm tra 50 giao dịch mỗi ngày, tỉ lệ giao dịch lỗi lịch sử là 0.04. Số giao dịch lỗi trong ngày là nhị thức với $n = 50$, $p = 0.04$: $E[X] = 2$, $\text{Var}(X) = 1.92$, độ lệch chuẩn khoảng 1.39. Xác suất một ngày không có lỗi nào: $0.96^{50} \approx 0.13$. Con số này đáng chú ý: dù trung bình chỉ 2 lỗi, vẫn có 13% ngày "sạch", nên đừng lấy một ngày sạch làm bằng chứng hệ thống đã tốt lên.

**Ví dụ cùng dữ liệu, câu hỏi khác.** Cũng 50 giao dịch đó, nhưng hỏi "giao dịch tiếp theo có lỗi không?" thì đó là Bernoulli$(0.04)$, không phải nhị thức. Cùng dữ liệu, khác câu hỏi, khác phân phối. Đây là lỗi phổ biến nhất khi đọc báo cáo metric.

**Ví dụ xấp xỉ đúng chỗ.** Nếu mỗi ngày kiểm tra 2.000 giao dịch với $p = 0.04$: $np = 80$, $n(1-p) = 1920$, đủ điều kiện xấp xỉ chuẩn với $\mu = 80$, $\sigma = \sqrt{76.8} \approx 8.76$. Muốn $P(X \le 70)$: $z = (70.5 - 80)/8.76 \approx -1.08$, tra bảng được khoảng 0.14. Với dữ liệu 50 giao dịch mỗi ngày thì đừng xấp xỉ: $np = 2 < 5$, đường cong chuẩn sẽ bóp méo phần đuôi, đúng chỗ ta cần chính xác nhất.

## Những chỗ dễ sai khi gán phân phối

1. **Bỏ qua giả định độc lập.** Lấy mẫu không hoàn lại từ một lô nhỏ làm $p$ thay đổi sau mỗi lần lấy. Khi đó dùng phân phối siêu bội, không phải nhị thức.
2. **Quên hiệu chỉnh liên tục.** Xấp xỉ chuẩn cho biến đếm mà không dịch biên 0.5 sẽ lệch có hệ thống, nhất là ở đuôi.
3. **Xấp xỉ quá sớm.** Ngưỡng $np \ge 5$ và $n(1-p) \ge 5$ là mức tối thiểu, không phải mức lý tưởng. Với $p$ sát 0 hoặc sát 1, hãy tăng ngưỡng lên 10.
4. **Lẫn $\sigma$ và $\sigma^2$.** Công thức z-score dùng độ lệch chuẩn; nhị thức cho $\text{Var}(X) = np(1-p)$ nên $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.
5. **Áp quy tắc 68-95-99.7 cho mọi phân phối.** Quy tắc này chỉ đúng với phân phối chuẩn. Với phân phối lệch, hãy dùng bất đẳng thức Chebyshev để có cận an toàn.

## Mang gì sang bài checkpoint

- **Bernoulli** cho đúng một lần thử đúng/sai: $E[X] = p$, $\text{Var}(X) = p(1-p)$.
- **Nhị thức** cho số lần đúng trong $n$ lần thử độc lập, cùng $p$: $E[X] = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
- **Chuẩn** cho đại lượng liên tục; chuẩn hóa bằng $z = (x - \mu)/\sigma$ rồi đọc quy tắc 68-95-99.7.
- Xấp xỉ nhị thức bằng chuẩn chỉ khi $np \ge 5$ và $n(1-p) \ge 5$, nhớ hiệu chỉnh liên tục.

Bài tiếp theo là checkpoint của module: bạn sẽ gặp lại chính ba phân phối này trong các tình huống trộn lẫn, và phải tự chọn đúng phân phối trước khi tính.

Front: Biến ngẫu nhiên Bernoulli nhận những giá trị nào?
Back: Chỉ hai giá trị: 1 (thành công, xác suất p) và 0 (thất bại, xác suất 1 - p).

Front: Kỳ vọng và phương sai của Bernoulli(p) là bao nhiêu?
Back: E[X] = p và Var(X) = p(1 - p).

Front: Công thức xác suất của phân phối nhị thức(n, p)?
Back: P(X = k) = C(n, k) nhân p mũ k nhân (1 - p) mũ (n - k).

Front: Kỳ vọng và phương sai của nhị thức(n, p)?
Back: E[X] = np và Var(X) = np(1 - p).

Front: Nhị thức(n, p) với n = 1 chính là phân phối nào?
Back: Bernoulli(p).

Front: Bốn điều kiện để dùng được phân phối nhị thức?
Back: n cố định, mỗi lần thử chỉ đúng hoặc sai, p không đổi, các lần thử độc lập.

Front: z-score đo điều gì?
Back: Số độ lệch chuẩn mà x cách trung bình: z = (x - mu) / sigma.

Front: Quy tắc 68-95-99.7 phát biểu thế nào?
Back: Với phân phối chuẩn, khoảng 68% giá trị trong cộng trừ 1 sigma, 95% trong cộng trừ 2 sigma, 99.7% trong cộng trừ 3 sigma.

Front: Khi nào được xấp xỉ nhị thức bằng phân phối chuẩn?
Back: Khi np lớn hơn hoặc bằng 5 và n(1 - p) lớn hơn hoặc bằng 5.

Front: Hiệu chỉnh liên tục khi tính P(X lớn hơn hoặc bằng 20) bằng xấp xỉ chuẩn?
Back: Dùng biên 19.5: z = (19.5 - mu) / sigma.

Front: Phân phối nhị thức lệch mạnh về một phía khi nào?
Back: Khi p rất nhỏ (lệch phải) hoặc rất lớn (lệch trái), đuôi dày hơn phân phối chuẩn cùng trung bình.

Front: Nhị thức(n, p) đối xứng khi nào?
Back: Khi p = 0.5.

Front: Vì sao không dùng nhị thức khi lấy mẫu không hoàn lại từ lô nhỏ?
Back: Các lần lấy không độc lập, p thay đổi sau mỗi lần nên giả định của nhị thức bị vi phạm.

Bernoulli(p) có phương sai bằng _____.
Nhị thức(n, p) có kỳ vọng bằng _____.
z-score được tính bằng công thức _____.
Theo quy tắc 68-95-99.7, khoảng _____% giá trị của phân phối chuẩn nằm trong cộng trừ 2 sigma.
Chỉ nên xấp xỉ nhị thức bằng chuẩn khi _____.
Khi xấp xỉ chuẩn cho P(X lớn hơn hoặc bằng 20), ta dùng _____ làm biên dưới.

---

## Contents

Part of [🎲 Khóa 4: Toán cho Machine Learning — xác suất, thống kê và đánh giá mô hình](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh.md)

- **🎯 Xác suất, biến cố và định lý Bayes**
  - [🔁 Ôn nhanh: biến cố, không gian mẫu và các quy tắc xác suất](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/on-nhanh-bien-co-khong-gian-mau-va-quy-tac-xac-suat.md)
  - [🌿 Xác suất có điều kiện và cây quyết định](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/xac-suat-co-dieu-kien-va-cay-quyet-dinh.md) (sign-in required)
  - [🔮 Định lý Bayes và suy luận ngược](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/dinh-ly-bayes-va-suy-luan-nguoc.md)
  - [✅ Checkpoint: xác suất và định lý Bayes](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/checkpoint-xac-suat-va-dinh-ly-bayes.md)
- **📊 Biến ngẫu nhiên và các phân phối cốt lõi**
  - [⚖️ Biến ngẫu nhiên, kỳ vọng và phương sai](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/bien-ngau-nhien-ky-vong-va-phuong-sai.md)
  - [🔔 Bernoulli, nhị thức và phân phối chuẩn](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/bernoulli-nhi-thuc-va-phan-phoi-chuan.md) — this lesson
  - [🧪 Checkpoint: biến ngẫu nhiên và phân phối](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/checkpoint-bien-ngau-nhien-va-phan-phoi.md)
- **📈 Lấy mẫu, suy diễn thống kê và metrics trên dữ liệu thật**
  - [🎣 Lấy mẫu, ước lượng điểm và sai số chuẩn](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/lay-mau-uoc-luong-diem-va-sai-so-chuan.md)
  - [🚦 Khoảng tin cậy và p-value: trực giác và cách đọc sai](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/khoang-tin-cay-va-p-value-truc-giac-va-cach-doc-sai.md)
  - [🧭 Precision, recall và ROC-AUC như đại lượng thống kê](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/precision-recall-va-roc-auc-nhu-dai-luong-thong-ke.md) (premium content)
  - [🏁 Checkpoint: suy diễn thống kê và metrics](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/checkpoint-suy-dien-thong-ke-va-metrics.md) (premium content)
- [Course cheatsheet](https://everwise.study/courses/khoa-4-toan-cho-machine-learning-xac-suat-thong-ke-va-danh-gia-mo-hinh/cheatsheet.md) (premium content)