# 📉 Cheatsheet: Khóa 3: Toán cho Machine Learning — đạo hàm, gradient và tối ưu hóa huấn luyện

By Better Wise

> This cheatsheet is premium content. Sign in and purchase the course to view the full content.

Tra cứu nhanh cho toàn khóa. Câu hỏi xuyên suốt: **"đạo hàm này giúp model giảm lỗi thế nào?"**

---

## 1. Đạo hàm và ý nghĩa hình học (1.1)

| Khái niệm | Công thức / ý nghĩa | Ghi nhớ thực chiến |
| --- | --- | --- |
| Đạo hàm tại điểm | $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ | Tốc độ thay đổi tức thời của $f$ theo $x$ |
| Độ dốc (slope) tiếp tuyến | $f'(x_0)$ chính là hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0$ | Dốc lên: $f' > 0$; dốc xuống: $f' < 0$; bằng phẳng: $f' = 0$ |
| Xấp xỉ tuyến tính | $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,h$ | Bước nhỏ theo $h$ đổi loss khoảng $f' \cdot h$ |
| Hướng giảm nhanh nhất (1D) | Đi ngược dấu đạo hàm: $x \leftarrow x - \eta f'(x)$ | Đây chính là mầm mống của gradient descent |

**Quy tắc đạo hàm cơ bản cần thuộc:**

| $f(x)$ | $f'(x)$ |
| --- | --- |
| $c$ | $0$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $1/x$ |
| $c \cdot g(x)$ | $c \cdot g'(x)$ |
| $g(x) + h(x)$ | $g'(x) + h'(x)$ |
| $g(x)h(x)$ | $g'h + gh'$ |

> **Tip:** 
> Đọc đồ thị: chỗ đồ thị dốc nhất thì $|f'|$ lớn nhất; chỗ đạt cực trị (đỉnh/đáy) thì tiếp tuyến nằm ngang, $f' = 0$.

---

## 2. Chain rule và đạo hàm hàm hợp (1.2)

$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

- "Đạo hàm ngoài nhân đạo hàm trong", nhân từ ngoài vào trong.
- Nhiều lớp: $\dfrac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

| Dạng hàm hợp | Đạo hàm |
| --- | --- |
| $(ax+b)^n$ | $n(ax+b)^{n-1} \cdot a$ |
| $e^{g(x)}$ | $e^{g(x)} \cdot g'(x)$ |
| $\ln g(x)$ | $g'(x)/g(x)$ |
| $(w x + b - y)^2$ | $2(wx+b-y) \cdot x$ (theo $w$) |

**Ví dụ loss đơn giản** $L(w) = (w x - y)^2$:

$$\frac{\partial L}{\partial w} = 2(wx - y)\,x$$

Đây là "động cơ" để cập nhật $w$ trong hồi quy tuyến tính.

---

## 3. Đạo hàm riêng và vector gradient (1.3)