# ➕ Cộng vector và nhân vô hướng

By Better Wise

> Sign in to view the full content of this lesson.

## Nối tiếp bài trước: từ tọa độ đến phép toán trên mũi tên

Bài trước bạn đã biết vector là một mũi tên có hướng và độ dài, và có thể viết nó bằng tọa độ: $\vec{u} = (2, 1)$ nghĩa là đi 2 đơn vị sang phải, 1 đơn vị lên trên. Giờ ta thêm hai phép toán làm cho các mũi tên đó "chuyển động" được trên mặt phẳng: cộng hai vector và nhân vector với một số. Đây là hai viên gạch mà mọi bài sau (tích vô hướng, ma trận, cosine similarity) đều xây lên.

Sau bài này, bạn có thể:
- Cộng hai vector bằng tọa độ và bằng hình vẽ (quy tắc đầu-cuối, quy tắc hình bình hành).
- Trừ vector như một trường hợp riêng của phép cộng.
- Nhân vector với số vô hướng và đọc được ý nghĩa co giãn, lật chiều.
- Tính những biểu thức như $2\vec{u} - 3\vec{v}$ theo từng bước, không nhảy bước.

## Cộng hai vector: nối đuôi nhau trên mặt phẳng

Tưởng tượng bạn đứng ở gốc tọa độ. Đi theo $\vec{u} = (3, 1)$, rồi từ điểm vừa tới đi tiếp theo $\vec{v} = (1, 2)$. Bạn dừng ở $(4, 3)$. Đó chính là $\vec{u} + \vec{v}$: **cộng từng thành phần, và cộng các mũi tên theo kiểu nối đuôi**.

$$
\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\; u_2 + v_2)
$$

Về hình, có hai cách vẽ cho cùng một kết quả:

- **Quy tắc đầu-cuối:** đặt đuôi của $\vec{v}$ tại ngọn của $\vec{u}$; mũi tên đi từ đuôi $\vec{u}$ đến ngọn $\vec{v}$ là tổng.
- **Quy tắc hình bình hành:** đặt hai vector chung một đuôi, dựng hình bình hành; đường chéo xuất phát từ điểm chung là tổng.

```mermaid
flowchart TD
    A["🟦<br/>Vector u"] --> B["📐<br/>Đặt đuôi v tại ngọn u"]
    B --> C["➡️<br/>Tổng u + v"]
```

Phép cộng có tính giao hoán ($\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$), có tính kết hợp, và vector không $\vec{0} = (0,0)$ là phần tử trung tính: $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$.

**Ví dụ thực tế:** một chiếc thuyền chạy theo $\vec{v} = (5, 0)$ km/h, dòng nước đẩy theo $\vec{d} = (0, 2)$ km/h. Vận tốc thực tế so với bờ là $\vec{v} + \vec{d} = (5, 2)$ km/h: vẫn 5 km/h về phía trước, cộng thêm 2 km/h bị trôi ngang.

**Thử ngay:**
1. Cho $\vec{a} = (3, -1)$ và $\vec{b} = (-2, 4)$. Tính $\vec{a} + \vec{b}$.
2. Một người đi $\vec{u} = (2, 5)$ rồi đi $\vec{v} = (-2, -5)$. Người đó dừng ở đâu?

**Xem đáp án**

1. $\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-2),\; -1 + 4) = (1, 3)$.
2. Tổng là $(0, 0)$: đường đi khép kín, quay về đúng gốc. Hai vector này là vector đối của nhau.

## Trừ vector: chỉ là cộng với vector đối

Không cần công thức mới. Vector đối của $\vec{v}$ là $-\vec{v}$: ngược chiều, cùng độ dài. Vậy phép trừ chính là phép cộng với vector đối:

$$
\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = (u_1 - v_1,\; u_2 - v_2)
$$

**Thử ngay:** với $\vec{a} = (3, -1)$ và $\vec{b} = (-2, 4)$ ở trên, hãy tính $\vec{a} - \vec{b}$ và vẽ nháp để xem mũi tên kết quả có đi từ ngọn của $\vec{b}$ tới ngọn của $\vec{a}$ hay không.

**Xem đáp án**

$\vec{a} - \vec{b} = (3 - (-2),\; -1 - 4) = (5, -5)$. Đúng vậy: nếu đặt $\vec{a}$ và $\vec{b}$ chung đuôi thì $\vec{a} - \vec{b}$ là mũi tên nối ngọn của $\vec{b}$ sang ngọn của $\vec{a}$.

## Nhân vô hướng: kéo dài, co lại, lật chiều

Nhân vector $\vec{u}$ với một số $k$ (gọi là **scalar**) là nhân $k$ vào từng thành phần:

$$
k\vec{u} = (k\,u_1,\; k\,u_2)
$$

Hình dung: giữ nguyên đường thẳng chứa mũi tên rồi bóp nhỏ hoặc kéo dài nó ra.

| Giá trị $k$ | Mũi tên thay đổi thế nào |
| --- | --- |
| $k > 1$ | dài ra, vẫn cùng hướng |
| $0 < k < 1$ | ngắn lại, vẫn cùng hướng |
| $k = 1$ | giữ nguyên |
| $k = 0$ | co về vector không |
| $k < 0$ | lật ngược chiều, độ dài nhân với $\lvert k \rvert$ |

Độ dài vector mới bằng $\lvert k \rvert$ lần độ dài vector cũ. Nhân với 2 thì mũi tên dài gấp đôi; nhân với $-1$ thì độ dài không đổi nhưng mũi tên quay 180 độ.

Ba tính chất đáng nhớ:
- $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ (tính phân phối, dùng rất nhiều khi tính biểu thức)
- $(k + m)\vec{u} = k\vec{u} + m\vec{u}$
- $1\vec{u} = \vec{u}$ và $0\vec{u} = \vec{0}$

**Ví dụ thực tế:** một người đi bộ với vận tốc $\vec{u} = (4, -1)$ km/h. Sau 3 giờ, vector dịch chuyển là $3\vec{u} = (12, -3)$ km. Còn "trung bình cộng" của $n$ vector là $\frac{1}{n}(\vec{v}_1 + \dots + \vec{v}_n)$: cộng hết lại rồi nhân vô hướng với $\frac{1}{n}$.

**Thử ngay:**
1. Cho $\vec{u} = (2, -3)$. Tính $3\vec{u}$, $-\vec{u}$ và $0.5\vec{u}$.
2. Cho thêm $\vec{v} = (1, 4)$. Tính $2\vec{u} - 3\vec{v}$.

**Xem đáp án**

1. $3\vec{u} = (6, -9)$; $-\vec{u} = (-2, 3)$; $0.5\vec{u} = (1, -1.5)$.
2. $2\vec{u} = (4, -6)$, $3\vec{v} = (3, 12)$, nên $2\vec{u} - 3\vec{v} = (4 - 3,\; -6 - 12) = (1, -18)$.

## Ghép hai phép lại theo từng bước

Đề bài dạng $2\vec{u} - 3\vec{v}$ luôn làm theo đúng thứ tự sau, giống như chấm bài trên bảng:

1. Nhân vô hướng cho vector thứ nhất: 2u = (2·2, 2·(-3)) = (4, -6)
2. Nhân vô hướng cho vector thứ hai: 3v = (3·1, 3·4) = (3, 12)
3. Đổi dấu để có vector đối: -3v = (-3, -12)
4. Cộng từng thành phần: (4 + (-3), -6 + (-12)) = (1, -18)
5. Kiểm tra bằng hình: kết quả đi sang phải 1 và xuống 18, tức gần như dốc đứng xuống dưới

Tự làm một câu tương tự với cùng $\vec{u} = (2, -3)$, $\vec{v} = (1, 4)$: tính $3\vec{u} + 2\vec{v}$.

**Xem đáp án**

$3\vec{u} = (6, -9)$, $2\vec{v} = (2, 8)$, tổng là $(8, -1)$.

## Kiểm tra nhanh 60 giây

Điền vào chỗ trống, rồi tự đọc lại thành câu hoàn chỉnh:

Với u = (u1, u2) và v = (v1, v2), tổng u + v có tọa độ _____.
Nhân vector u với số k cho vector có tọa độ _____.
Nếu k là số âm thì vector mới _____ với vector ban đầu.
Phép cộng vector có tính _____, nghĩa là u + v = v + u.
Muốn tính trung bình cộng của n vector, ta cộng tất cả rồi nhân với _____.

## Ba lỗi hay gặp khi cộng và nhân vector

- **Cộng vector với số.** $\vec{u} + 3$ hoàn toàn không có nghĩa. Phép cộng chỉ định nghĩa giữa hai vector cùng số chiều, còn nhân vô hướng là phép nhân giữa một số và một vector.
- **Chỉ nhân vào thành phần đầu.** Với $k\vec{u} = (k u_1, k u_2)$, quên nhân $u_2$ là lỗi phổ biến nhất khi làm nhanh. Mẹo: đọc to "nhân tất cả, không bỏ sót".
- **Rối dấu khi trừ.** $\vec{u} - \vec{v}$ phải đổi dấu cả hai thành phần của $\vec{v}$ trước khi cộng: $(u_1 - v_1, u_2 - v_2)$, không phải $(u_1 - v_1, u_2 + v_2)$.

Quy tắc ngón tay để tự kiểm tra kết quả nhân vô hướng: $|k| > 1$ thì vector dài ra, $|k| < 1$ thì ngắn lại, $k < 0$ thì quay đầu, còn $k = 0$ thì sập về gốc tọa độ. Nếu hình vẽ không khớp với một trong bốn mô tả đó, bạn đã tính sai ở đâu đó.

## Điều cần mang theo sang bài sau

- Cộng vector là cộng từng thành phần; hình học là nối đuôi đầu hoặc đường chéo hình bình hành.
- Nhân vô hướng nhân $k$ vào mọi thành phần; hình học là co giãn và có thể đổi chiều.
- Mọi biểu thức dạng $a\vec{u} + b\vec{v}$ đều xử lý theo đúng ba bước: nhân vô hướng, đổi dấu, cộng thành phần.
- Vector không $\vec{0}$ là phần tử trung tính của phép cộng, và $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$.

Ôn lại bằng bộ thẻ dưới đây, rồi tự vẽ ra giấy một hình bình hành bất kỳ để kiểm tra trí nhớ bằng tay.

Front: Tọa độ của tổng u + v được tính thế nào?
Back: Cộng từng thành phần: (u1 + v1, u2 + v2).

Front: Tọa độ của k·u là gì?
Back: (k·u1, k·u2), nhân k vào mọi thành phần chứ không chỉ thành phần đầu.

Front: Quy tắc hình bình hành phát biểu thế nào?
Back: Đặt hai vector chung đuôi, tổng là đường chéo hình bình hành dựng từ hai vector đó.

Front: Quy tắc nối đuôi đầu (tip to tail) nói gì?
Back: Đặt đuôi vector thứ hai vào đầu vector thứ nhất, tổng đi từ đuôi thứ nhất đến đầu thứ hai.

Front: Vector đối của u là gì?
Back: -u, cùng độ dài nhưng ngược chiều, và u + (-u) = 0.

Front: Hiệu u - v được định nghĩa ra sao?
Back: Là u + (-v), tức cộng với vector đối của v.

Front: Phép cộng vector có giao hoán và kết hợp không?
Back: Có cả hai: u + v = v + u và (u + v) + w = u + (v + w).

Front: Khi k là số âm thì k·u có hướng thế nào?
Back: Ngược chiều với u, độ dài gấp |k| lần độ dài của u.

Front: k = 0 thì k·u bằng gì?
Back: Vector không, mọi thành phần đều bằng 0.

Front: Trung bình cộng của n vector tính thế nào?
Back: Cộng tất cả n vector rồi nhân với 1/n.

Front: 0.5·u thay đổi vector u ra sao trên hình?
Back: Co ngắn còn một nửa, giữ nguyên hướng.

Front: Vector không đóng vai trò gì trong phép cộng?
Back: Là phần tử trung tính: u + 0 = u.

Front: Nhân vô hướng có phân phối qua phép cộng không?
Back: Có: k(u + v) = ku + kv, và (a + b)u = au + bu.

Bài tiếp theo, **Tích vô hướng và góc giữa hai vector**, sẽ dùng chính hai phép bạn vừa luyện: tích vô hướng được tính từ các thành phần, còn góc giữa hai vector xuất hiện khi ta đặt chúng chung đuôi và đo độ "lệch hướng" của chúng.

---

## Contents

Part of [🧮 Khóa 2: Toán cho Machine Learning — vector, ma trận và khoảng cách bằng hình ảnh](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh.md)

- **➡️ Vector, cộng và nhân vô hướng, tích vô hướng và góc**
  - [🧭 Vector là gì: biểu diễn và tọa độ](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/vector-la-gi-bieu-dien-va-toa-do.md)
  - [➕ Cộng vector và nhân vô hướng](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/cong-vector-va-nhan-vo-huong.md) (sign-in required) — this lesson
  - [📐 Tích vô hướng và góc giữa hai vector](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/tich-vo-huong-va-goc-giua-hai-vector.md)
  - [✅ Checkpoint: Vector và góc](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/checkpoint-vector-va-goc.md)
- **🔲 Ma trận, nhân ma trận từng bước, chuyển vị và biến đổi tuyến tính**
  - [📋 Ma trận và cách chuyển bảng dữ liệu thành ma trận](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/ma-tran-va-chuyen-bang-du-lieu-thanh-ma-tran.md)
  - [✖️ Nhân ma trận từng bước](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/nhan-ma-tran-tung-buoc.md)
  - [🔄 Chuyển vị và biến đổi tuyến tính nhìn bằng hình ảnh](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/chuyen-vi-va-bien-doi-tuyen-tinh-bang-hinh-anh.md)
  - [🧪 Checkpoint: Ma trận và biến đổi](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/checkpoint-ma-tran-va-bien-doi.md)
- **📏 Chuẩn L1/L2 và khoảng cách cosine trong tìm kiếm, gợi ý**
  - [📶 Chuẩn L1, L2 và ý nghĩa hình học](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/chuan-l1-l2-va-y-nghia-hinh-hoc.md)
  - [🔍 Cosine similarity trong tìm kiếm và gợi ý](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/cosine-similarity-trong-tim-kiem-va-goi-y.md)
  - [🏁 Checkpoint: Chuẩn và độ tương đồng](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/checkpoint-chuan-va-do-tuong-dong.md)
- [Course cheatsheet](https://everwise.study/courses/khoa-2-toan-cho-machine-learning-vector-ma-tran-va-khoang-cach-bang-hinh/cheatsheet.md) (premium content)