# 🧮 Cheatsheet: Khóa 2: Toán cho Machine Learning — vector, ma trận và khoảng cách bằng hình ảnh

By Better Wise

> This cheatsheet is premium content. Sign in and purchase the course to view the full content.

> **Tip:** 
> Tra cứu nhanh công thức, quy trình và bảng quyết định cho toàn khóa. Mỗi mục ứng với một bài học.

---

## Module 1: Vector, cộng và nhân vô hướng, tích vô hướng và góc

### 1.1 Vector là gì: biểu diễn và tọa độ

- Vector = mũi tên có **hướng** và **độ lớn**. Trong không gian $n$ chiều, vector là bộ $n$ số: $\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$.
- Vector 2D: $\vec{v} = (x, y)$. Vector 3D: $\vec{v} = (x, y, z)$.
- **Độ lớn (độ dài)** của vector:

$$
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}
$$

- Vector đơn vị (unit vector): $\hat{v} = \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$, có độ dài bằng 1.
- Vector không: $\vec{0} = (0, 0, \dots, 0)$.

| Khái niệm | Ký hiệu | Ý nghĩa hình học |
| --- | --- | --- |
| Vector | $\vec{v}$ | Mũi tên từ gốc tọa độ đến điểm |
| Độ lớn | $\|\vec{v}\|$ | Chiều dài mũi tên |
| Unit vector | $\hat{v}$ | Mũi tên dài đúng 1, cùng hướng |
| Vector không | $\vec{0}$ | Không có hướng, dài bằng 0 |

### 1.2 Cộng vector và nhân vô hướng

**Cộng hai vector** (cộng từng thành phần):

$$
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)
$$

**Trừ hai vector:**

$$
\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1,\ a_2 - b_2)
$$

**Nhân vô hướng** (scalar) với vector, nhân mỗi thành phần:

$$
c \cdot \vec{v} = (c\,v_1,\ c\,v_2)
$$

| Phép toán | Công thức | Hình dung |
| --- | --- | --- |
| Cộng $\vec{a} + \vec{b}$ | Cộng từng thành phần | Nối đuôi mũi tên (quy tắc hình bình hành) |
| Trừ $\vec{a} - \vec{b}$ | Trừ từng thành phần | Mũi tên từ đầu $\vec{b}$ đến đầu $\vec{a}$ |
| Nhân $c\vec{v}$ | Nhân từng thành phần với $c$ | Kéo dài ($c>1$) hoặc co lại ($0<c<1$) |
| Nhân $c<0$ | Nhân từng thành phần | Đảo hướng, độ dài nhân $\|c\|$ |

Tính chất: giao hoán $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, kết hợp, có vector không, phân phối $c(\vec{a}+\vec{b})=c\vec{a}+c\vec{b}$.

### 1.3 Tích vô hướng và góc giữa hai vector

**Tích vô hướng (dot product)** cho ra một **số vô hướng**:

$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n
$$

**Liên hệ với góc:**